2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 13:18 


10/09/13
210
Ряд Фурье:

Разложить в ряд Фурье функцию:

$y=\dfrac{1-q^2}{1-2q\cos x +q^2},\;\;\;|q|<1$

Понимаю, что нужно пользоваться этиму формулами, если промежуток $[-\pi;\pi]$

$f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

$a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$

$a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$

$b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$

Как узнать промежуток для данной функции? Прям в лоб нужно брать интегралы такие сложные или есть способ полегче?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 13:22 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну например. Записать определение косинуса через экспоненту и разложить в ряд по степеням этой экспоненты. По сути, задача после замены сводится к разложению в ряд Лорана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Tosha в сообщении #877206 писал(а):
Как узнать промежуток для данной функции?
А какой период у этой функции? Для периодической функции можно взять любой промежуток, длина которого равна периоду функции.
А ваши формулы для функции с каким периодом написаны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 13:30 


10/09/13
210
Otta в сообщении #877211 писал(а):
Ну например. Записать определение косинуса через экспоненту и разложить в ряд по степеням этой экспоненты. По сути, задача после замены сводится к разложению в ряд Лорана.

$y=\dfrac{1-q^2}{1-qe^{ix}-qe^{-ix} +q^2},\;\;\;|q|<1$

То есть по степеням $ix$?

$ix=t$

$y=\dfrac{1-q^2}{1-qe^{t}-qe^{-t} +q^2},\;\;\;|q|<1$

$y=\dfrac{1-q^2}{1-q(1+t+0,5t^2+1-t+0,5t^2+O(t^3))+q^2},\;\;\;|q|<1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 13:31 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ряд Фурье, тот, что с экспонентой, как выглядит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 13:31 


10/09/13
210
Someone в сообщении #877214 писал(а):
Tosha в сообщении #877206 писал(а):
Как узнать промежуток для данной функции?
А какой период у этой функции? Для периодической функции можно взять любой промежуток, длина которого равна периоду функции.
А ваши формулы для функции с каким периодом написаны?

Период $2\pi$, написаны c периодом $[-\pi;\pi]$

-- 19.06.2014, 13:34 --

Otta в сообщении #877218 писал(а):
Ряд Фурье, тот, что с экспонентой, как выглядит?

$f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}$

$\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 13:35 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Tosha в сообщении #877219 писал(а):
$f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}$

Какую замену надо в нем сделать, чтобы он превратился в ряд Лорана?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 13:38 


10/09/13
210
Otta в сообщении #877223 писал(а):
Tosha в сообщении #877219 писал(а):
$f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}$

Какую замену надо в нем сделать, чтобы он превратился в ряд Лорана?

Не знаю, а без Лорана -- никак?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 13:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А без Лорана - интегрируйте. А я засеку время. :)
Никому не запретишь выдумывать порох непромокаемый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Tosha в сообщении #877217 писал(а):
То есть по степеням $ix$?

$ix=t$
Наверное, имелось в виду $z=e^{ix}$. Вы что изучаете-то? Математический анализ или ТФКП?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 13:44 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Не так. Изучали ли Вы, кроме математического анализа, ТФКП?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 13:48 


10/09/13
210
Математический анализ изучаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 13:59 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Одно другому не мешает. :) Вы не до конца ответили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение19.06.2014, 16:51 


10/09/13
210
Otta в сообщении #877245 писал(а):
Одно другому не мешает. :) Вы не до конца ответили.

Не изучал( Извиняюсь, просто криво понял вопрос. А без ТФКП здесь не получится? Комплексные числа только были.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический Ряд Фурье хитрой функции.
Сообщение20.06.2014, 11:56 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Tosha в сообщении #877318 писал(а):
А без ТФКП здесь не получится? Комплексные числа только были.
OK, попробуем. Заменим обозначения для переменных. Вместо $q$ и $x$ будем использовать $\rho$ и $\varphi$ соответственно. При этом если $q\geqslant 0$, то просто $\rho=q, \varphi=x$, иначе положим $\rho=-q, \varphi=x+\pi$. Таким образом, всегда $\rho\geqslant 0$. Функция перепишется в таком виде:
$u(\rho,\varphi)=\dfrac{\ell^2-\rho^2}{\ell^2-2\ell \rho\cos\varphi +\rho^2}$
В Вашей постановке $\ell=1$, но я рассмотрю чуть более общий случай, когда $\ell$ произвольная положительная константа. Тогда условие $\rho<1$ заменится на $\rho<\ell$.

Интерпретируем $\rho$ и $\varphi$ как полярные координаты. Можно проверить, что функция $u(\rho,\varphi)$ удовлетворяет уравнению Лапласа в круге $\rho\leqslant \rho_0<\ell$ (и тем самым она становится объектом изучения двумерной теории потенциала). Тогда в этом круге справедливо разложение
$u(\rho,\varphi)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\rho^n(a_n\cos n\varphi+b_n\sin n\varphi)$
Правая часть одновременно является рядом Фурье по $\varphi$ с коэффициентами, зависящими от $\rho$, и рядом Тейлора по степеням $\rho$ с коэффициентами, зависящими от $\varphi$. Уравнению Лапласа удовлетворяет каждое её слагаемое в отдельности.

Так как $u$ четна по $\varphi$, все $b_n=0$. Найти коэффициенты разложения $a_n$ легко благодаря тому, что потенциал $u$ можно построить из двух других потенциалов, для которых такое разложение легко получается. А именно:
$u=-1-\ell\frac{\partial}{\partial x}u_A$ , где
$u_A=\ln(\ell^2-2\ell \rho\cos\varphi +\rho^2)=\ln[(x-\ell)^2+y^2]$
Здесь $x=\rho\cos\varphi, \; y=\rho\sin\varphi$ — декартовы координаты, а про те $x, y$, что были у Вас в условии, забудем.
То, как просто получается Ваш потенциал из константы и потенциала точечного заряда, наводит на мысль, что он имеет искусственное происхождение. :-)

Если Вас интересует подход, который я прорекламировал, я продолжу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group