2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 17:10 


16/06/14
96
Пытаюсь придумать, как получить формулы Бине человеку, который не знает линейной алгебры.
Пока приходят в голову только рояли в кустах и кролики в шляпах, например:
1. Решение однородного разностного уравнения первой степени - экспонента. А давайте и для второй её попробуем.
2. Попробуем свести к виду $x_{n+1}-2x_n=3(x_n-2x_{n-1})$ для снижения степени. Дальше всё прямолинейно, но сам шаг опять же далеко не очевиден.

Какие способы посоветуете?

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 17:21 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
А нужно именно получить формулу Бине или просто доказать ее справедливость? Непреднамеренно (конечно же) подглядев формулу, второе можно легко сделать по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
А зачем нужно знать линейную алгебру для вывода формулы Бине?

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 17:29 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
deep down в сообщении #876097 писал(а):
1. Решение однородного разностного уравнения первой степени - экспонента.

Кто сказал?
deep down в сообщении #876097 писал(а):
2. Попробуем свести к виду $$x_{n+1}-2x_n=3(x_n-2x_{n-1})$$ для снижения степени. Дальше всё прямолинейно, но сам шаг опять же далеко не очевиден.

Ваше разностное уравнение вообще не имеет отношения к числам Фибоначчи

Как совет - либо получать через характеристическое уравнение, либо идти наоборот, начиная с $\[\varphi \]$ и $\[{\varphi ^{ - 1}}\]$.
P.S.Какое отношение линал имеет к разностным уравнениям?

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 17:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ms-dos4 в сообщении #876105 писал(а):
P.S.Какое отношение линал имеет к разностным уравнениям?

Ровно такое же, что и к линейным дифурам. Т.е. непосредственное. Другое дело, что изучать эти уравнения можно и без линала, но это -- не вполне приходя в сознание.

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 17:43 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
ewert
А, в этом смысле (я почему то подумал про непосредственную методику решения). Так если нужно просто объяснить кому то про формулу Бине, не обязательно излагать полную теорию. Дать как факт характеристическое уравнение и всё (если есть знание дифуров - провести параллели).

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 19:05 
Заслуженный участник


20/12/10
9085
kp9r4d в сообщении #876104 писал(а):
А зачем нужно знать линейную алгебру для вывода формулы Бине?
С помощью жордановой нормальной формы быстро получается вся стандартная теория линейных рекурренций с постоянными коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 20:04 
Заслуженный участник


13/12/05
4609
А что касается конкретных уравнений, то матрицу рекуррентного преобразования в $n$-тую степень можно даже без жордановой нормальной формы возводить. И получать выражение для $n$-того члена.

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 20:10 


16/06/14
96
Ms-dos4 в сообщении #876105 писал(а):
Ваше разностное уравнение вообще не имеет отношения к числам Фибоначчи

Это просто был пример, чтобы потом попробовать разложить таким же образом соотношение для Фибоначчи

Ms-dos4 в сообщении #876105 писал(а):
либо получать через характеристическое уравнение, либо идти наоборот, начиная с $\[\varphi \]$ и $\[{\varphi ^{ - 1}}\]$.

В том всё и дело - и уравнение и постоянные золотого сечения будут кроликами из шляпы.
Если сказать - а вдруг экспонента какая-то подойдёт, то дальше путь очевиден. Естественным образом она может возникнуть из жорданового разложения, но это ни разу не элементарная теория. И желательно матрицы вообще не употреблять

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 20:17 
Заслуженный участник


20/12/10
9085
deep down в сообщении #876165 писал(а):
И желательно матрицы вообще не употреблять
А кому это надо? Если студентам, то это просто вредно. Если школьникам, то есть популярные брошюры на эту тему и для них. Зачем здесь придумывать что-то эдакое?

-- Вт июн 17, 2014 00:20:15 --

deep down в сообщении #876165 писал(а):
Если сказать - а вдруг экспонента какая-то подойдёт, то дальше путь очевиден.
Почему бы и нет? Свойства геометрической прогрессии вполне вдохновляют.

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Это надо с пчёлок и цветочков начинать. Посмотрим на отношение двух последовательных чисел Ф. Ух ты, оно к чему-то сходится, да ещё как быстро! Ну-ка, а как бы найти...

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 21:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #876150 писал(а):
С помощью жордановой нормальной формы быстро получается вся стандартная теория линейных рекурренций с постоянными коэффициентами.

Вполне возможно, если эту форму знать. Но необходимости в ней -- ни малейшей. "Сударыня, Вас обманули: Вам дали гораздо лучший мех"...

nnosipov в сообщении #876169 писал(а):
deep down в сообщении #876165 писал(а):
И желательно матрицы вообще не употреблять
А кому это надо? Если студентам, то это просто вредно.

Вот конкретно в этой теме -- категорически вредны именно матрицы. Линейноалгебраические соображения можно считать необходимыми (если хочется сознательности), но вот конкретно матрицы -- вредны без вариантов.

-- Пн июн 16, 2014 22:47:04 --

deep down в сообщении #876165 писал(а):
Если сказать - а вдруг экспонента какая-то подойдёт, то дальше путь очевиден.

Но это же вполне естественный подход, раз уж речь о разностных уравнениях. В конце концов, в дифурах мотивация ровно такая же. Для уравнения первого порядка экспонента очевидна со всех точек зрения; а для более высокого -- почему бы и не попробовать?... И тут вдруг выясняется (о, чудо!), что это даёт результат на 100%.

По крайней мере "в случаях общего положения"; ну а с нюансами можно разобраться и позже. Вот ровно так же и птички. (конечно, для приблизительно 100%-ности придётся привлекать линейноалгебраические вещи; но ни разу не матрицы)

Кстати, занятно, что дифуры проходятся гораздо раньше, чем (ровно такие же идеологически, и при этом гораздо более простые технически) уравнения разностные. Во всяком случае, мне обратных примеров не наблюдалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 21:49 
Заслуженный участник


20/12/10
9085
ewert в сообщении #876197 писал(а):
Вполне возможно, если эту форму знать. Но необходимости в ней -- ни малейшей.
Не стоит мелочиться в данном случае. Мало ли в чём нет необходимости, это же не повод не обращать внимание на естественный подход.
ewert в сообщении #876197 писал(а):
Вот конкретно в этой теме -- категорически вредны именно матрицы.
В какой этой? Когда я говорил про матрицы, я имел в виду именно линейно-алгебраический подход. Если угодно, могу "матрица" заменить на "линейный оператор".

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение16.06.2014, 21:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #876200 писал(а):
это же не повод не обращать внимание на естественный подход.

Так он здесь как раз и неестественен. Мало того, что жорданова форма -- это серьёзная (и неоправданная) морока, но и:

nnosipov в сообщении #876200 писал(а):
Когда я говорил про матрицы, я имел в виду именно линейно-алгебраический подход

-- Вы говорили совсем неправильно. Линейные операторы здесь идейны (безусловно), но матрицы для них совсем не обязательны. В очень многих случаях действие оператора очевидно, матрица же его -- лишь запудривает мозги, и явного её выписывания следует тщательно избегать. И это как раз ровно тот самый случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: как "на пальцах" получить формулу для чисел Фибоначчи
Сообщение17.06.2014, 09:01 


20/01/09
141
А зачем человеку, не знающему линейной алгебры формулы Бине?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group