Ряд фурье.

[iifat]

Ну, в задании определена функция только на отрезке $[0,2]$, а ряд Фурье сходится на всей оси. Надо доопределить функцию. Можно, как вы это сделали, принять $[0,2]$ за период. Можно — за полпериода, на второй половине сделать её чётной лбо нечётной. Это ещё два разложения. Что четвёртое — для меня загадка.

[xyzintegral]

Спасибо. Вот так, верно?



-- 13.06.2014, 14:03 --

ИСН в сообщении #874886 писал(а):

Про полноту системы функций слышали, например? Если взять только синусы с тем же периодом, это будет неполная система.

Теперь слышал, спасибо!

[iifat]

Хм. Можно, наверное, и так, но по синусам, по-моему, не ломаная волна, как у вас нарисовано, а отдельные линии, только вдвое длиннее, чем на первом рисунке. Возьмите ваш третий, и сделайте периодом $[-2,2]$.

[xyzintegral]

iifat в сообщении #874908 писал(а):

Хм. Можно, наверное, и так, но по синусам, по-моему, не ломаная волна, как у вас нарисовано, а отдельные линии, только вдвое длиннее, чем на первом рисунке. Возьмите ваш третий, и сделайте периодом $[-2,2]$.

То есть разрывная функция будет?

[svv]

А четвертый ряд — возьмите Вашу функцию на первом графике от $-2$ до $2$.

xyzintegral в сообщении #874945 писал(а):

То есть разрывная функция будет?

Да, это не страшно.

[ewert]

svv в сообщении #874948 писал(а):

А четвертый ряд — возьмите Вашу функцию на первом графике от $-2$ до $2$.

Ну так ровно тот же ряд и получится; что же ещё?

Скорее всего, четвёртый -- это по комплексным экспонентам. Он, конечно, эквивалентен первому, но, во всяком случае, слагаемые другие.

[svv]

ewert в сообщении #874953 писал(а):

Ну так ровно тот же ряд и получится; что же ещё?

Нет, не тот же. В том смысле, что наборы коэффициентов $a_n$ и $b_n$ другие.

[ewert]

svv в сообщении #874957 писал(а):

В том смысле, что наборы коэффициентов $a_n$ и $b_n$ другие.

Если я правильно Вас понял, то Вы предлагали вместо одного периода раскладывать по удвоенному. Ну и откуда там возьмётся что-то новое?... Просто слагаемые будут в два раза прорежены, но после соотв. замены переменной суммирования -- ровно тот же ряд и выйдет.

[svv]

ewert в сообщении #874962 писал(а):

Ну и откуда там возьмётся что-то новое?...

В новом ряде используются иная система тригонометрических функций, например, в неё входит функция $s_1(x)=\sin \frac{2\pi}{T}x$, где $T=4$, не совпадающая ни с какой из базисных функций старого ряда ни на каком интервале. В новый ряд входит слагаемое вида $b_1 \sin \frac{2\pi}{T}x$ ($где T=4$), в старый оно не входит. То, что коэффициент $b_1$ равен нулю, только подтверждает тот факт, что старый и новый ряд — это разные ряды, ведь в старом ряде $b_1$ не был нулевым.

ewert в сообщении #874962 писал(а):

Просто слагаемые будут в два раза прорежены

Ну так этого и достаточно.

[ewert]

(Оффтоп)

svv в сообщении #874977 писал(а):

Ну так этого и достаточно.

Нет, это совершенно бессмысленно. Я ведь сказал, почему считаю ряд по экспонентам другим хотя бы формально: там слагаемые формально другие, да и идеология немножко другая. Здесь же даже и этого нет.

Вот прикиньте. Вы предложили период удвоить -- хорошо; но: почему не упятерить?... почему не увосемнадцатерить?...

[svv]

(Оффтоп)

Нет, не бессмысленно.
Во-первых, в обоих случаях мы находим ряд Фурье для различных функций. Одна задана на $[0,2]$, вторая на $[-2,2]$. Во-вторых, системы базисных функций различны: одна система не включает функции $\sin \frac {\pi}2 x$ или $\cos \frac {17\pi}2 x$, вторая включает. Но в ряде Фурье каждой функции из системы соответствует коэффициент (хотя бы и нулевой), так что и последовательности коэффициентов в обоих случаях различны.

ewert в сообщении #875056 писал(а):

там слагаемые формально другие

И здесь формально другие. В моём примере мы имеем право спросить, чему равен коэффициент при $\sin \frac {3\pi}2 x$ (ответ: нулю), в первом варианте вопрос не имеет смысла.

ewert в сообщении #875056 писал(а):

да и идеология немножко другая

Требовалось привести не 4 ряда с различной идеологией, а 4 различных ряда.

ewert в сообщении #875056 писал(а):

Вы предложили период удвоить -- хорошо; но: почему не упятерить?...

Реальная ситуация (из радиоэлектроники). Функция зависит, помимо $t$, ещё и от параметра $p$. Функция периодическая по $t$: при отдельных значениях параметра (например, $p=0$) минимальный период $T$, при остальных $2T$. Надо исследовать зависимость коэффициентов ряда Фурье от параметра. Естественно, в случае $p=0$ я не должен менять базис с $2T$- на $T$-периодический (чего ради?). Так что подобные разложения по двойному или сколько надо кратному периоду встречаются.