2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Про псевдорешения
Сообщение10.06.2014, 19:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Сугубо технологический вопрос (он мне нужен для курса численных методов или типа того).

Известно, что $\|Ax-f\|=\mathrm{min} \ \Leftrightarrow\ A^*Ax=A^*f$.

Известно также, что матрица последней системы есть матрица Грама для столбцов исходной матрицы: $g_{ik} =(\vec a_k,\vec a_i)$ (ну и с правыми частями аналогично).

Всё это банально, да. А вопрос вот в чём. Давайте искать псевдорешение относительно не стандартного скалярного произведения, но относительно общего: $(\cdot,\cdot)_M\equiv(M\cdot,\cdot)$ (где $M$, естественно, некоторая положительная матрица). Тогда рецепт остаётся ровно прежним: система уравнений на псевдорешение строится ровно так же, только матрица Грама для тех же столбцов выписывается относительно нового скалярного произведения.

Так вот что меня раздражает. Само утверждение выглядит очень естественно. А вот доказать его без занудства (достаточно простого, но всё-таки занудства) у меня не выходит.

Может, кто подскажет, по каким причинам это утверждение должно быть очевидным?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение10.06.2014, 19:47 
Заслуженный участник


20/12/10
7004
А мы разве раньше это не обсуждали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение10.06.2014, 20:01 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Вполне возможно, но я просто не помню. И уж точно помню, что если и обсуждали, то ответ как-то не возник. А тут просто в очередной раз возник сам вопрос. Извините.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение10.06.2014, 20:12 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Мне кажется (ручку в руки не брал), что при решении задачи минимизации на матрицу $M$ можно будет сократить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение10.06.2014, 20:21 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
мат-ламер в сообщении #874099 писал(а):
на матрицу $M$ можно будет сократить.

Да можно, конечно; но это-то и есть элемент (не самый важный) занудства. Мне же хотелось бы отмахнуться от всего одной левой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение10.06.2014, 20:28 
Заслуженный участник


20/12/10
7004
ewert в сообщении #874095 писал(а):
Вполне возможно, но я просто не помню.
Вот здесь это было topic60628-60.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение10.06.2014, 20:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
nnosipov в сообщении #874113 писал(а):
ewert в сообщении #874095 писал(а):
Вполне возможно, но я просто не помню.
Вот здесь это было topic60628-60.html

Да, но я ведь не о технике:

nnosipov в сообщении #602982 писал(а):
а затем получил бы для этой $G$ нужную формулу $G=A^*MA$ (это совсем примитивная алгебра на уровне понимания, что такое произведение матриц).

Технически-то любой ёж всё выведет. Меня интересует -- как это получить из общих соображений, не прибегая к именно матричной алгебре.

Если вообще можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение10.06.2014, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Преобразуйте линейным преобразованием пространство к такому, в котором $M$ единица. (Такое обратимое преобразование $T^{\mathrm{T}}T=M$ всегда существует, и даже не единственно.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение10.06.2014, 21:08 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Munin в сообщении #874129 писал(а):
Преобразуйте линейным преобразованием пространство к такому, в котором $M$ единица. (Такое обратимое преобразование $T^{\mathrm{T}}T=M$ всегда существует, и даже не единственно.)

Так, ещё раз -- для тех, кто в танке:

ewert в сообщении #874122 писал(а):
Технически-то любой ёж всё выведет. Меня интересует -- как это получить из общих соображений

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение10.06.2014, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
А это не технически. Это из общих соображений. Пространство со скалярным произведением $M$ изометрично пространству со скалярным произведением $1.$ Причём изометрию легко подобрать: диагонализуем $M,$ и извлекаем из диагональных элементов квадратный корень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение10.06.2014, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6299
Ну, например, так.
Если у нас есть билинейная форма, то вектор $f$ можно ортогонализовать: разложить на часть, лежащую в образе $A$ и часть, ортогональную ему: $f = f_{\parallel} + f_{\perp}$, $f_{\parallel} = \sum (a_i, f) a_i$, $(a_i, f_{\perp}) = 0$.
Тогда минимум $(Ax - f, Ax - f) = (Ax - f_{\parallel}, Ax - f_{\parallel}) + (f_{\perp}, f_{\perp})$ достигается в случае $(Ax - f_{\parallel}, Ax - f_{\parallel}) = 0$. Если билинейная форма невырождена, это значит, что $Ax - f_{\parallel} = 0$. Так как $Ax - f_{\parallel}$ лежит в образе $A$, достаточно проверить равенство нулю всех скалярных произведений $(a_i, Ax) = (a_i, f_{\parallel}) = (a_i, f)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение10.06.2014, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
P. S. Ну, если вам не годится, не настаиваю. Но к моменту курса численных методов, такие вещи должны быть уже очевидны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение11.06.2014, 04:03 
Заслуженный участник


20/12/10
7004
ewert в сообщении #874087 писал(а):
Известно также, что матрица последней системы есть матрица Грама для столбцов исходной матрицы: $g_{ik} =(\vec a_k,\vec a_i)$ (ну и с правыми частями аналогично).
Проблема, как я понял из того обсуждения, в том, что столбцы матрицы $A$ могут быть зависимы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение11.06.2014, 04:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5871
nnosipov в сообщении #874187 писал(а):
Проблема, как я понял из того обсуждения, в том, что столбцы матрицы $A$ могут быть зависимы?


Это, вроде, не проблема: правая часть не произвольная, а из образа $A^*$, поэтому удовлетворяет условию разрешимости.

Ок, а, может быть, я правильно понимаю, что проблема в том, что при переходе к новому скалярному произведению операция $A\mapsto A^*$ меняется, а студенты этого не знают, поскольку она им определялась поэлементно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про псевдорешения
Сообщение11.06.2014, 05:01 
Заслуженный участник


20/12/10
7004
Думаю, для обычных студентов понять то, что скалярное произведение можно задавать по-разному (а не только школьной формулой), является проблемой. То есть, само аксиоматическое введение скалярного произведения --- проблема. Если речь идёт о первокурсниках, то параллельный курс ан. геометрии только усугубляет это непонимание --- там действительно есть только одно скалярное произведение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group