Несобственный интеграл

[MestnyBomzh]

Можно ли утверждать, что $\int_0^1 \frac{\cos(2x)}{2x}dx$ сходится, так как $\frac{\cos(2x)}{2x} < \frac{1}{x}$? Получается, что если бы в знаменателе была константа не $2$, а, например $0.5$, то интеграл бы расходился, но ведь это только константа и ее можно вынести вообще за интеграл, она никак не влияет, вот здесь у меня путанница произошла. Подскажите, пожалуйста, что верно

[Nemiroff]

MestnyBomzh в сообщении #873660 писал(а):

так как $\frac{\cos(2x)}{2x} < \frac{1}{x}$

Ну допустим — и чего?

[MestnyBomzh]

Nemiroff
Ну $\frac{1}{x^a}$ сходится при $ 0 < a < 1$

[Nemiroff]

$\frac{1}{2x}$ тоже меньше $\frac1x$. Дальше что?

[MestnyBomzh]

а, я понял, функции $\frac{1}{x^a}$ при $0 < a < 1 $ будут меньше, чем наша, кажется

[Nemiroff]

Что?

Вы признак сравнения знаете или не знаете?

[SpBTimes]

MestnyBomzh
Интеграл

$$ \int\limits_0^1 \frac{dx}{x} $$

сходится или расходится?

[MestnyBomzh]

Знаю: если выполнено $0 \leq f(x) \leq g(x)$ и $\int_a^{+ \infty} g(x) dx$ сходится, то сходится и $\int_a^{+ \infty} f(x) dx$. И если расходится $\int_a^{+ \infty}f(x)dx$, то расходится и $\int_a^{+ \infty}g(x)dx$

-- 09.06.2014, 19:36 --

SpBTimes
Расходится

[Nemiroff]

MestnyBomzh в сообщении #873670 писал(а):

Знаю: если выполнено $0 \leq f(x) \leq g(x)$ и $\int_a^{+ \infty} g(x) dx$ сходится, то сходится и $\int_a^{+ \infty} f(x) dx$. И если расходится $\int_a^{+ \infty}f(x)dx$, то расходится и $\int_a^{+ \infty}g(x)dx$

Отлично, верно. Но вы ни разу этот признак не применили к данному интегралу.

[MestnyBomzh]

Nemiroff
Не получается потому что. $0 \leq \frac{\cos(2x)}{2x} \leq g(x)$, выполнено если $g(x) = \frac{1}{x}$. Но это бесполезно, так как $\frac{1}{x}$ расходится. А когда я беру $a < 1$, где $\frac{1}{x^a}$ то неравенство выполняется в другую сторону, что тоже бесполезно

[Nemiroff]

Наконец-то хоть какой-то результат.
Какие идеи есть?

[MestnyBomzh]

Разложить в ряд Маклорена. У меня получилось, что расходится

[provincialka]

Есть признак сравнения с использованием эквивалентности.

[MestnyBomzh]

не слышал о таком. слышал только о признаке сравнения в предельной форме

[Nemiroff]

MestnyBomzh в сообщении #873699 писал(а):

не слышал о таком. слышал только о признаке сравнения в предельной форме

Сформулируйте пожалуйста.