Несобственный интеграл

[MestnyBomzh]

$f(x) \geq 0, g(x) \geq 0$, и $\lim_{x \to + \infty } \frac{f(x)}{g(x)} = K$, $K-$ конченое ненулевое число, то либо $f(x), g(x)$ одновременно расходятся, либо одновременно сходятся

[Nemiroff]

Угу. Так вот, функции $f$ и $g$ называются эквивалентными при $x \to a$, если существует $h$, такая что $f=gh$ и предел $h$ в $a$ равен единице. Ну вот и "найти десять отличий".

[MestnyBomzh]

Nemiroff
Вообще говоря, изначально у меня был интеграл $\int_0^{+ \infty} \frac{\sin^2 x}{2x} dx$ Но я, как я понял, я пошел по ложному пути. Я подумал, можно ли решить так: $\int_0^{+ \infty} \frac{\sin^2 x}{2x} dx = \int_0^{1} \frac{\sin^2 x}{2x} dx + \int_1^{+ \infty} \frac{1-\cos(2x)}{2x} dx$; Первый интеграл сходится, так как в нуле особенности нет. Тогда рассмотрим $\int_1^{+ \infty} \frac{1}{2x} dx - \int_1^{+ \infty} \frac{\cos(2x)}{x} dx$ здесь второй интеграл сходится по Дирихле. А первый расходится. Итого весь интеграл расходится. Так врено?

[bot]

Врено.