2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Привести интеграл к Beta функции
Сообщение05.06.2014, 14:34 


11/05/13
187
После замены,
но там ещё есть сомножители $t$, $b+1$, $dt$, которые так же изменятся если $t-1=c$, $ b-1=d$,
тогда $t=c+1$, $b+1=d+2$, $dt=dc$

Там проблема именно в скобке, содержащей произведение двух скобок, которая возводится в рациональную степень.
Вот если из этих двух скобок внутри вынести по -1, то они дают 1, а если раскрыть на две скобки с рац. показателями и потом из каждой выносить -1, то получается $(-1)^{a-2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести интеграл к Beta функции
Сообщение05.06.2014, 14:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
А Вы их не изменяйте, вот они и не изменятся. Как Вы их хотите менять и зачем? Они и так хороши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести интеграл к Beta функции
Сообщение05.06.2014, 14:52 


11/05/13
187
Я имею ввиду, что
если написать так:
$ (\frac{(b-1)(t-1)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}=(\frac{(-(1-b))(-(1-t))}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}=(\frac{(1-b)(1-t)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}$ то никаких единиц в степени нет

а если так:
$(\frac{(b-1)(t-1)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}=\frac{(b-1)^{\frac{a}{2}-1}(t-1)^{\frac{a}{2}-1}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}}=$
$=\frac{(1-b)^{\frac{a}{2}-1}(-1)^{\frac{a}{2}-1}(1-t)^{\frac{a}{2}-1}(-1)^{\frac{a}{2}-1}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}}=$
$=\frac{(1-b)^{\frac{a}{2}-1}(1-t)^{\frac{a}{2}-1}(-1)^{a-2}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}}=(-1)^{\frac{a}{2}-1} (\frac{(1-b)(1-t)}{(1+b)})^{\frac{a}{2}-1}$

то возникает $(-1)^{a-2}$

И вообще тогда получается, что $(\frac{(1-b)(1-t)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}=(-1)^{\frac{a}{2}-1} (\frac{(1-b)(1-t)}{(1+b)})^{\frac{a}{2}-1}$,
а значит $(-1)^{a-2}=1$, т.е. $a=4,6,8...$ но на самом деле на $a $ ограничений не должно быть

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести интеграл к Beta функции
Сообщение05.06.2014, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
$$ \underbrace{(\frac{(b-1)(t-1)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}}_{\text{этого не пишите вообще}}
=
\underbrace{(\frac{(-(1-b))(-(1-t))}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}}_{\text{и этого не пишите вообще}}
=
\underbrace{(\frac{(1-b)(1-t)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}}_{\text{а пишите сразу вот это}}
$$

-- менее минуты назад --

Ну в самом деле, Вы знаете же, наверное, какие злые чудеса начинаются, когда отрицательные числа возводят в дробные степени? Вот и не давайте им повода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести интеграл к Beta функции
Сообщение05.06.2014, 15:52 


11/05/13
187
ИСН в сообщении #872053 писал(а):
Ну в самом деле, Вы знаете же, наверное, какие злые чудеса начинаются, когда отрицательные числа возводят в дробные степени? Вот и не давайте им повода.


Пока ещё не знаю

-- 05.06.2014, 16:52 --

Это, кстати, интеграл из Демидовича №3858.

Там интеграл

$\int_{0}^{\pi } \frac{\sin^{a-1}(x)dx}{(1+b \cos(x))^a}$

Который после разложения синуса и косинуса на двойные углы преобразуется в

$-\int_{0}^{\pi } \frac{2^a \sin^{a-2}(\frac{x}{2}) \cos^{a-1}(\frac{x}{2})d(\cos(\frac{x}{2}))}{(1-b +2 b \cos^{2}(\frac{x}{2}))^a}=-\int_{0}^{\pi } \frac{2^a \sqrt{1-\cos^{2}(\frac{x}{2})}^{a-2} \cos^{a-1}(\frac{x}{2})d(\cos(\frac{x}{2}))}{(1-b +2 b \cos^{2}(\frac{x}{2}))^a}=$

$=\int_{0}^{1} \frac{2^a (1-y^2)^{\frac{a-2}{2}} y^{a-1} dy}{(1-b +2 b y^2)^a}=\int_{0}^{1} \frac{2^{a-1} (1-x)^{\frac{a-2}{2}} x^{\frac{a-2}{2}} dx}{(1-b +2 b x)^a}=2^{a-1} \int_{0}^{1} \frac{(1-x)^{\frac{a}{2}-1} x^{\frac{a}{2}-1} dx}{(1-b +2 b x)^a}=\frac{2^{a-1}}{(1-b^2)^{\frac{a}{2}}} Beta(\frac{a}{2},\frac{a}{2})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести интеграл к Beta функции
Сообщение05.06.2014, 16:07 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Имхо, зря Вы к половинному аргументу перешли. Было бы прозрачнее без этого.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group