Привести интеграл к Beta функции

[Seergey]

После замены,
но там ещё есть сомножители $t$, $b+1$, $dt$, которые так же изменятся если $t-1=c$, $ b-1=d$,
тогда $t=c+1$, $b+1=d+2$, $dt=dc$

Там проблема именно в скобке, содержащей произведение двух скобок, которая возводится в рациональную степень.
Вот если из этих двух скобок внутри вынести по -1, то они дают 1, а если раскрыть на две скобки с рац. показателями и потом из каждой выносить -1, то получается $(-1)^{a-2}$

[ИСН]

А Вы их не изменяйте, вот они и не изменятся. Как Вы их хотите менять и зачем? Они и так хороши.

[Seergey]

Я имею ввиду, что
если написать так:
$ (\frac{(b-1)(t-1)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}=(\frac{(-(1-b))(-(1-t))}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}=(\frac{(1-b)(1-t)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}$ то никаких единиц в степени нет

а если так:
$(\frac{(b-1)(t-1)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}=\frac{(b-1)^{\frac{a}{2}-1}(t-1)^{\frac{a}{2}-1}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}}=$
$=\frac{(1-b)^{\frac{a}{2}-1}(-1)^{\frac{a}{2}-1}(1-t)^{\frac{a}{2}-1}(-1)^{\frac{a}{2}-1}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}}=$
$=\frac{(1-b)^{\frac{a}{2}-1}(1-t)^{\frac{a}{2}-1}(-1)^{a-2}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}}=(-1)^{\frac{a}{2}-1} (\frac{(1-b)(1-t)}{(1+b)})^{\frac{a}{2}-1}$

то возникает $(-1)^{a-2}$

И вообще тогда получается, что $(\frac{(1-b)(1-t)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}=(-1)^{\frac{a}{2}-1} (\frac{(1-b)(1-t)}{(1+b)})^{\frac{a}{2}-1}$,
а значит $(-1)^{a-2}=1$, т.е. $a=4,6,8...$ но на самом деле на $a $ ограничений не должно быть

[ИСН]

$$ \underbrace{(\frac{(b-1)(t-1)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}}_{\text{этого не пишите вообще}} = \underbrace{(\frac{(-(1-b))(-(1-t))}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}}_{\text{и этого не пишите вообще}} = \underbrace{(\frac{(1-b)(1-t)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}}_{\text{а пишите сразу вот это}} $$

-- менее минуты назад --

Ну в самом деле, Вы знаете же, наверное, какие злые чудеса начинаются, когда отрицательные числа возводят в дробные степени? Вот и не давайте им повода.

[Seergey]

ИСН в сообщении #872053 писал(а):

Ну в самом деле, Вы знаете же, наверное, какие злые чудеса начинаются, когда отрицательные числа возводят в дробные степени? Вот и не давайте им повода.

Пока ещё не знаю

-- 05.06.2014, 16:52 --

Это, кстати, интеграл из Демидовича №3858.

Там интеграл

$\int_{0}^{\pi } \frac{\sin^{a-1}(x)dx}{(1+b \cos(x))^a}$

Который после разложения синуса и косинуса на двойные углы преобразуется в

$-\int_{0}^{\pi } \frac{2^a \sin^{a-2}(\frac{x}{2}) \cos^{a-1}(\frac{x}{2})d(\cos(\frac{x}{2}))}{(1-b +2 b \cos^{2}(\frac{x}{2}))^a}=-\int_{0}^{\pi } \frac{2^a \sqrt{1-\cos^{2}(\frac{x}{2})}^{a-2} \cos^{a-1}(\frac{x}{2})d(\cos(\frac{x}{2}))}{(1-b +2 b \cos^{2}(\frac{x}{2}))^a}=$

$=\int_{0}^{1} \frac{2^a (1-y^2)^{\frac{a-2}{2}} y^{a-1} dy}{(1-b +2 b y^2)^a}=\int_{0}^{1} \frac{2^{a-1} (1-x)^{\frac{a-2}{2}} x^{\frac{a-2}{2}} dx}{(1-b +2 b x)^a}=2^{a-1} \int_{0}^{1} \frac{(1-x)^{\frac{a}{2}-1} x^{\frac{a}{2}-1} dx}{(1-b +2 b x)^a}=\frac{2^{a-1}}{(1-b^2)^{\frac{a}{2}}} Beta(\frac{a}{2},\frac{a}{2})$

[Otta]

Имхо, зря Вы к половинному аргументу перешли. Было бы прозрачнее без этого.