Нецелое среднее арифметическое

[Ktina]

Можно ли выписать в ряд 10 натуральных чисел, чтобы среднее арифметическое любых двух или более подряд идущих чисел не было целым числом?

Мне кажется, что подойдут числа

$$k_1, k_2, \dots, k_{10}$$

, где

$$k_i=i\cdot 10!+i\pmod 2$$

А в общем случае, если чисел не 10, а $n$, подойдут числа

$$k_1, k_2, \dots, k_{n}$$

, где

$$k_i=i\cdot n!+i\pmod 2$$

Я на верном пути?

[ИСН]

Факториал нужен, чтобы не было нулей, а умножение его на i - чтобы числа были (как Вам наверняка хочется) разными? Ну ОК.

[Ktina]

ИСН в сообщении #871650 писал(а):

Факториал нужен, чтобы не было нулей, а умножение его на i - чтобы числа были (как Вам наверняка хочется) разными? Ну ОК.

Да, хотелось бы, по умолчанию, получить попарно различные числа.
А нули при чём?

[ИСН]

Ну без факториалов было бы 0, 1, 0, 1... - тоже что-то примерно подходящее.

-- менее минуты назад --

Вообще такую штуку можно строить от самого низа. Первое число годится любое, пусть будет 1. Второе - любое чётное, пусть 2. Третье - любое нечётное и не делящееся на 3; китайская теорема говорит, что мы такое найдём. И на следующем шаге найдём (только там условий ещё больше), и т.д.

-- менее минуты назад --

Если только не упрёмся! Или такого не может быть?

[Ktina]

ИСН
Ваша идея в том, чтобы чередовать остатки 0 и 1 при делении на НОК всех чисел от 1 до $n$?

[ИСН]

Нет, это Ваша (как я её понял). Моя - чтобы для каждого нового числа выписывать все требования и брать первое, что подходит. А остаток - уж какой получится, такой получится.

[Shadow]

ИСН в сообщении #871669 писал(а):

чтобы для каждого нового числа выписывать все требования и брать первое, что подходит

А подходят все числа $4k+1 \text{ и } 4k+2$ выписанные в ряд.
Попробуем доказать.

[venco]

Чередовать 1 и 2.
Сумма любых $k$ чисел подряд равна $k+[\frac k 2]$ или $k+[\frac {k+1} 2]$ и на $k$ не делится.

[ИСН]

Это-то ясно. Это если разрешены повторы.

[Shadow]

Если без повторов, выписываем последовательно все числа $4k+1,4k+2$. Если рассмотреть $2n$ или $2n+1$ последовательных (две арифметически прогрессии с разностью 4 рассматриваем), то их среднее арифметическое получается (если не ошибся в арифметике) $4k+2n-\frac 1 2$ в первом случае и $4k+2n+\frac{n+1}{2n+1}$ (когда первый член $4k+1$). В обеих случаях не может быть целое. Если первый член $4k+2$, вряд ли что-то сильно изменится.

[ИСН]

Так. А интересно, можно ли придумать последовательность с таким свойством, которая была бы перестановкой натурального ряда (т.е. использовала бы по разу все числа, а не половину)?

[venco]

2,1,4,3,6,5,8,7,10,9,...

[ИСН]

О как!