Число пи как замечательный предел.

[LebedKun]

Число $\pi$ - это отношение длины окружности к её диаметру, т.е. $\pi=\frac{C}{d}$, где $C$ - длина окружности, $d=2r$ - диаметр.

Окружность же можно определить как правильный многоугольник, который имеет бесконечно много сторон и бесконечно малую длину стороны, т.к. при увеличении числа сторон и уменьшение длины стороны, правильный многоугольник становится всё больше похожим на окружность.

Опишем около многоугольника окружность и впишем в него же другую окружность. Радиус описанной окружности равен по формуле $R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}$, радиус вписанной - $r=\frac{a}{2\tg\frac{180^\circ}{n}}$, где $a$ - длина стороны правильного многоугольника, $n$ - число сторон. Сторону правильного n-угольника можно определить, исходя из формул, как $a=2R\sin\frac{180^\circ}{n}=2r\tg\frac{180^\circ}{n}$. Периметр n-угольника (правильного), соответственно - $P=na=n\cdot 2R\sin\frac{180^\circ}{n}=n\cdot2r\tg\frac{180^\circ}{n}$.

Найдём отношение периметра правильного n-угольника к диаметру описанной и вписанной окружности соответственно (удвоенному радиусу) - $\frac{P}{2R}=\frac{n\cdot 2R\sin\frac{180^\circ}{n}}{2R}=n\sin\frac{180^\circ}{n}$, $\frac{P}{2r}=\frac{n\cdot2r\tg\frac{180^\circ}{n}}{2r}=n\tg\frac{180^\circ}{n}$.

Но т.к. окружность определена как правильный многоугольник с бесконечно большим количеством сторон и бесконечно малой длиной стороны, то $\pi=\frac{C}{d}=\lim_{n\to\infty} \frac{P}{d}=\lim_{n\to\infty} n\sin\frac{180^\circ}{n}=\lim_{n\to\infty} n\tg\frac{180^\circ}{n}$.

Таким образом константа $\pi$ тоже является замечательным пределом, как константа $e=\lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n$.

[Lia]

Предмет обсуждения сформулируйте, чтобы зря в Карантин не ходить.

[Sergey from Sydney]

Прекрасно, вы доказали, что $180^\circ=\pi$.

[LebedKun]

Lia, сформулировал (см. последнее предложение).

[Pphantom]

LebedKun в сообщении #870290 писал(а):

Таким образом константа $\pi$ тоже является замечательным пределом

Осталось определиться с технологией подсчета синусов и тангенсов произвольных углов без какой-либо информации о $\pi$ и тогда это будет даже интересно.

[LebedKun]

Цитата:

Осталось определиться с технологией подсчета синусов и тангенсов произвольных углов без какой-либо информации о $\pi$ и тогда это будет даже интересно.

Для углов $0, 30, 45, 60, 90$ градусов можно легко доказать значение синусов. Для других углов - можно приближённо вычислить через ряды Тейлора и т.д. А вот чтобы точно найти - надо выполнить немало геометрических построений и доказательств. На практике это не годится, поэтому зачастую вычисляют приближённо (например, при современном уровне трёхмерной графики будет проблематично хранить сотни тысяч значений синусов и искать их в таблице, поэтому для десятых, сотых и т.д. долей углов вычисляют ряды Тейлора и находят приближённое значение).

[Sergey from Sydney]

LebedKun писал(а):

Для других углов - можно приближённо вычислить через ряды Тейлора и т.д.

Вот и вычислите приближенно, например, $\sin{\frac{180^\circ} {1000}}$, не зная значение $\pi$.

[LebedKun]

Sergey from Sydney, ряды Тейлора - степенные и они не предполагают использование числа $\pi$

[Otta]

LebedKun
А Вы найдите, чем рассказывать. :) С точностью до сотой хотя бы. И сверьтесь хотя бы с калькулятором.

[Sergey from Sydney]

LebedKun

Вот и продемонстрируйте, как вы будете вычислять $\sin{\frac{180^\circ} {1000}}$ с помощью рядов Тейлора, не используя число $\pi$.

[мат-ламер]

LebedKun
Я вам советую прочитать книгу Жукова про число $\pi$ (подход Архимеда).

[Sonic86]

(Оффтоп)

LebedKun в сообщении #870290 писал(а):

Окружность же можно определить как правильный многоугольник, который имеет бесконечно много сторон и бесконечно малую длину стороны, т.к. при увеличении числа сторон и уменьшение длины стороны, правильный многоугольник становится всё больше похожим на окружность.

Во! помню, как классе в 8-м или в 9-м я думал что-то подобное. До истины Вы еще не дошли, но направление нормальное такое

В целом, если текст привести к правильной форме, то получим нечто тривиальное. Непонятно, что обсуждать.

LebedKun в сообщении #870290 писал(а):

Таким образом константа $\pi$ тоже является замечательным пределом, как константа $e=\lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n$.

Угу: $(\forall x\in\mathbb{R})x=\lim\limits_{n\to +\infty} x$
Есть и сильно менее тривиальные примеры. Кроме того, ряды и интегралы - это тоже пределы, так ведь?

[LebedKun]

Я вбил предел в WolframAlpha - всё сходится с моим решением (доказательством).

[Otta]

Что именно вбили, покажите. И что сходится.

[Pphantom]

LebedKun в сообщении #870617 писал(а):

Я вбил предел в WolframAlpha - всё сходится с моим решением (доказательством).

Если туда вбить, что $2=2$, то тоже все сойдется. Вопрос в том, что именно сие доказывает.