2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 01:43 
Аватара пользователя


11/12/13

87
Исследовать на сходимость интеграл: $\int_0 ^1 \frac{\arcsin(x^3+x^5)}{x^2 \ln^2(x^2+1)}$
По графикам видно, что $\frac{1}{x} < \frac{\arcsin(x^3+x^5)}{x^2 \ln^2(x^2+1)}$, при $0 < x < 1$. А $\int_0^1\frac{1}{x}$ расходится => осталось док-ть, что $\frac{1}{x} < \frac{\arcsin(x^3+x^5)}{x^2 \ln^2(x^2+1)};  x\ln^2(x^2+1)} < \arcsin(x^3+x^5) (0<x<1)$. Собственно, тут я и остановился

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 01:44 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Эквивалентности используйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 01:57 
Аватара пользователя


11/12/13

87
Но если я не ошибаюсь, эквивалентности можно использовать только при $x \to 0$, а я хочу док-ть нер-во для $0<x<1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 02:07 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Enot2 в сообщении #869030 писал(а):
а я хочу док-ть нер-во для $0<x<1$

Зачем Вам нужно именно неравенство?

-- 29.05.2014, 05:08 --

Enot2 в сообщении #869030 писал(а):
Но если я не ошибаюсь, эквивалентности можно использовать только при $x \to 0$

Ошибаетесь, но пока это не так важно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 09:10 
Аватара пользователя


11/12/13

87
Otta в сообщении #869036 писал(а):
Зачем Вам нужно именно неравенство?

Ага, то есть использовать эквивалентности для $\frac{\arcsin(x^3+x^5)}{x^2 \ln^2(x^2+1)}$, при $x \to 0$?
Получается так: $\frac{\arcsin(x^3+x^5)}{x^2 \ln^2(x^2+1)} \sim \frac{x^5+x^3}{x^6} = \frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}$; $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}) = \infty$;
Я правильно понимаю, что нам нужно сравнить скорость приближения к бесконечности функций $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}$? ПОлучается, что вторая медленнее приближается
Следует ли отсюда, что интеграл второй больше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 09:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Вы не упускаете из виду, что логарифм-то был тоже в квадрате?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 09:17 
Аватара пользователя


11/12/13

87
Исправил!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 09:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну и потом, раз занялись эквивалентностями, то нет смысла писать вещи типа $x^{10}+x^{20}$; главная степень поглощает все остальные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 09:28 
Аватара пользователя


11/12/13

87
А разве дробь $\frac{1}{x^3}$ не нужна для того, чтобы док-ть, что вторая приближается к $OY$ медленнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 09:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Вам не надо, что она быстрее или медленнее. Вы едете на эквивалентностях. Попытка перейти от них к неравенствам подобна пересаживанию на ходу с одного велосипеда на другой, и грозит окончиться так же.

-- менее минуты назад --

Можно было с самого начала ехать на неравенствах. Но это другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 09:54 
Аватара пользователя


11/12/13

87
Так, окей.
Далее верно ли я понимаю, что нам нужен предел отношения, и он равен $1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 10:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Отношения чего к чему? Вашей функции и эквивалентной ей, но более простой? В принципе да, но обычно этого вслух произносить нет нужды, ибо всё вмещается в ёмкий символ $\sim$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 10:31 
Аватара пользователя


11/12/13

87
А, кажется нашел:
Пусть неотрицательные функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы по любому отрезку $[a+\varepsilon;b], (0<\varepsilon <b-a)$ и пусть существует конечный $\lim_{x \to a+0} \frac{f(x)}{g(x)}=K\neq 0$ . Тогда несобственные интегралы $\int_a^b f(x)dx$ и $\int_a^b g(x)dx$ сходятся или расходятся одновременно.
Ну и мы берем функцию $g(x)=\frac{1}{x}$ (расходится). Отношение нашей функции и $g(x)$равно единице. Значит и $\int_0^1 f(x)dx$ расходится

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Функцию Вы берёте не совсем эту, но всё остальное верно, и вывод тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2014, 10:53 
Аватара пользователя


11/12/13

87
А какую еще можно было взять? При других степенях получается либо равный нулю предел, либо равный бесконечности. Можно было бы константу пририсовать, но разница..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group