Расширение поля

[Gaary]

Задача
Построить расширение степени 3 поля $\mathbb{F}_3$ и решить в нем уравнение $x^3 + x = t^2 + 1$, где $t -$ корень полинома $x^3 + 2x + 1$
Решение
Построим расширение: $\mathbb{F}_3[x]/(x^3+2x+1) = \{a_0 + a_1t + a_2t^2| a_0, a_1, a_2 \in \mathbb{F}_3\}$
Не подскажете, как найти значение $t$, и надо ли его вообще искать?

[nnosipov]

Gaary в сообщении #867614 писал(а):

надо ли его вообще искать?

Не надо.

[Gaary]

Я правильно мыслю?
Вот мы построили расширение, теперь найдем корни уравнения $x^3 + x = t^2 + 1$.
Пусть $k -$ корень. Тогда
$x^3 + x - t^2 - 1 = (x - k)(x - k_1) (x - k_2)$
Разделим на $(x - k)$ обе части, получим
$x^2+kx+k^2+1 = x^2 -k_1x -k_2x + k_1k_2$
Приравняв значения при равных степенях $x$, получим систему, и, решив эту систему, найдем $k_1$ и $k_2$, выраженные через $k$. Это и будет ответ?

[nnosipov]

Gaary в сообщении #867648 писал(а):

Это и будет ответ?

Нет. Вам нужно $k$ и остальные корни выразить через $t$.

[Gaary]

А, спасибо. Вроде поняла)