Ландау. Том 3. Вероятность результатов измерения.

[yerbolat.dauletyarov]

Всем привет.

Начал учить квантовую механику по книге "Квантовая механика (Нерелятивистская теория)" Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц.

В главе 1 параграфе 2 сказано:

Знание волновой функции позволяет в принципе вычислить вероятности различных результатов измерения.

После дается формула: $\int\int F(q)F^*(q')g(q,q')dqdq'$

Где
q - совокупность координат квантовой системы
dq - произведение дифференциалов этих координат
$F$ - волновая функция
$F^*$ - сопряженное к $F$
$g(q,q')$ - зависит от рода и результата измерения

Вопрос: что такое $q'$?

[warlock66613]

То же самое, что и $q$. Но вот понимаете ли вы, что такое $q$? Рассмотрим квантовую систему из одной частицы, находящейся в начале координат $(0, 0, 0)$. Что такое $q$ в таком случае?

[yerbolat.dauletyarov]

В случае когда квантовая система состоит из одной квантовой частицы, q совокупность x, y, z.
x, y, z определяют точку в трехмерном пространстве.

warlock66613 в сообщении #867299 писал(а):

Рассмотрим квантовую систему из одной частицы, находящейся в начале координат $(0, 0, 0)$.

Насколько я понимаю частица не может находиться в точке $(0, 0, 0)$. Мы можем лишь посчитать плотность вероятности нахождения частицы в точке $(0, 0, 0)$ по формуле $F(q)F^*(q)$.

[yerbolat.dauletyarov]

Наверное, частица все-таки находится где-то и возможно в точке $(0, 0, 0)$.

Но в любом случае, в моем понимании, мы используем q не для указания местонахождения частицы, а как переменную волновой функции для подсчета плотности вероятности нахождения частицы в точке q ($(x,y,z)$).

[Munin]

yerbolat.dauletyarov в сообщении #867312 писал(а):

Насколько я понимаю частица не может находиться в точке $(0, 0, 0)$.

Может, но с нулевой вероятностью.

В окрестности этой точки, то есть в области $|x|<\varepsilon_x,\quad|y|<\varepsilon_y,\quad|z|<\varepsilon_z,$ она может находиться с вероятностью $\Psi^*(0,0,0)\Psi(0,0,0)8\varepsilon_x\varepsilon_y\varepsilon_z.$ Эта величина обращается в нуль вместе с объёмом окрестности.

Есть исключение, оно связано с "дельта-функциями", но пока можете об этом не думать.

yerbolat.dauletyarov в сообщении #867331 писал(а):

Но в любом случае, в моем понимании, мы используем q не для указания местонахождения частицы, а как переменную волновой функции для подсчета плотности вероятности нахождения частицы в точке q ($(x,y,z)$).

И то, и другое верно, и это одно и то же (пока вы не прочитали про разные представления - это 2 глава).

[yerbolat.dauletyarov]

В итоге, что такое $q'$?

warlock66613 в сообщении #867299 писал(а):

То же самое, что и $q$.

Я не понимаю. Буду благодарен если разъясните.

[Ms-dos4]

yerbolat.dauletyarov
То же самое. Т.е. $\[q\]$ и $\[q'\]$ это координаты, которые пробегают свои значения (независимо) по всему конфигурационному пространству. Интеграл же двойной, и просто нужно их обозначить по разному, вот и всё.

[Munin]

yerbolat.dauletyarov в сообщении #867346 писал(а):

В итоге, что такое $q'$?

Она не имеет отдельного смысла, а является частью выражения $\int\Psi^*(q')g(q,q')dq'$ (которое, в свою очередь, может быть выделено в скобках в вашем $\int\Psi(q)\bigl(\int\Psi^*(q')g(q,q')dq'\bigr)dq$). Это выражение означает линейный оператор, применённый к волновой функции $\Psi(q)$ (или, как неудачно у вас получилось, к $\Psi(q)^*,$ что, впрочем, отличается только на эрмитово сопряжение оператора). Оператор в общем случае "перемешивает" значения функции в разных точках, и поэтому надо как-то по-разному обозначить координаты "до" и "после оператора". Вот эти обозначения и есть $q$ и $q'.$

Аналогия: пусть вам нужно посчитать гравитационную силу в какой-то точке пространства. Тогда вы пишете интеграл $\vec{g}(\vec{r})=\int\tfrac{G\,\rho(\vec{r}\,')}{|\vec{r}\,'-\vec{r}|^3}(\vec{r}\,'-\vec{r})\,d^3\vec{r}\,',$ и вам тоже надо как-то по-разному обозначить две переменных - ту точку, в которой вы ищете гравитационную силу, и ту точку, в которой находится масса, вызывающая гравитационную силу, и которая при интегрировании пробегает по всему пространству. Их и обозначают здесь $\vec{r}$ и $\vec{r}\,'.$

[yerbolat.dauletyarov]

Спасибо за ответы :). Я подумаю.

[warlock66613]

yerbolat.dauletyarov в сообщении #867346 писал(а):

Я не понимаю.

В общем, надо понимать, что в примере, который я приводил, $q$ - это не значение координат вроде $(0, 0, 0)$, а совокупность собственно координат $x, y, z$.

[yerbolat.dauletyarov]

Теперь понял. Всем спасибо. )

[Munin]

Вспомните линейную алгебру. Там много операций умножения матриц, матрицы на вектор-столбец, и тому подобного. И когда матрица умножается на вектор-столбец, то это выглядит примерно как $c_i=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_j$ - то есть, приходится по-разному называть индексы для вектора "до" и "после умножения".

По сути, все формулы квантовой механики, которые изложены в ЛЛ-3 в первых главах - это формулы линейной алгебры, только обобщённые на ситуацию, когда индекс пробегает не целые, а действительные числа. Ну и, все векторы и матрицы комплексно-значные.

[mishafromusa]

Есть такая теорема Лорана Шварца о ядре, которая говорит, что любой разумный линейный оператор может быть записан как интегральный оператор с некоторым ядром $K(x,y)$, где $K$ -- обобщённая функция. Например, оператор дифференцирования -- это свёртка с $\delta'(x)$, т.е. $K(x,y)=\delta'(x-y)$.