Показательное уравнение

[Sonic86]

$a,k,n\in\mathbb{N}$
$5\cdot 2^a=2^n+(5^k-1)$
Верно ли, что $n=4$?
Попытки решения не привожу, т.к. они мне сильно не помогли
(понятно, например, что $4\mid n$, что $v_2(5^k-1)=2+v_2(k)$, что если наибольшая степень двойки находится слева, то степени двоек $n$ и $v_2(5^k-1)$ равны. При $n=4$ получаем $2^a-5^{k-1}=3$, его решения - только $(2,1);(3,2);(7,4)$ (оно вот даже было))
Нашел решения $(a,k,n)=(2,1,4);(3,2,4);(7,4,4)$. Есть ли у него другие решения?