Векторный анализ в R^3

[scwec]

В $\mathbb{R}^3$ заданы два гладких векторных поля $X,Y$.
Известно, что $X\times\operatorname{rot}Y=\operatorname{grad}f$ и $\operatorname{rot}{Y}(\operatorname{div}X)=0$.
Докажите, что в односвязной области линейной независимости $X,\operatorname{rot}{Y}$ поле $X$ интегрируется в квадратурах.
Попросту говоря, найдите квадратурами еще один первый интеграл для $X$ (поскольку $f$ уже известен).
P.S. хорошо известен частный случай $X,Y=v$, где $v$ - поле скоростей стационарного движения идеальной несжимаемой жидкости с потенциальными массовыми силами и баротропией.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #867040 писал(а):

и $\operatorname{rot}{Y}(\operatorname{div}X)=0$.

не понял эту формулу

[Munin]

Как читается ваша вторая формула?

[scwec]

Вcё в эвклидовых координатах. $\operatorname{rot}{Y}$ - векторное поле, $\operatorname{div}{X}$ - функция.

[Oleg Zubelevich]

там, что умножить на дивиргенцию ? ротор от Y или от произведения?

[scwec]

Уже совсем грубо. Пусть векторное поле $Z=\operatorname{rot}{Y}$ и функция $F=\operatorname{div}{X}$.
Второе условие: $Z(F)=0$.

[Munin]

Что означает нотация ``векторное поле'' $($``функция''$)$? И заодно, в каком учебнике она введена?

[Oleg Zubelevich]

где только такая нотация не введена, это производная Ли

[scwec]

Для Munin: очень хорошо Вас понимаю.
Лучше всего Вам прочитать и освоить текст В.И.Арнольда из книги "Математические методы классической механики" (у меня третье издание) в данном случае стр. 169 и далее (Д. Пример 2. Векторный анализ).
Предложенная мной задача совсем не тривиальная. Но её нельзя решать, пока не освоены азы.

[Oleg Zubelevich]

введем обозначения $v=X,\quad u=rot\, Y,\quad g=div\, X$. Тогда $g$ --- первый интеграл поля $u$ и $f$ -- первый интеграл полей $u,v$.

возьмем ротор от обеих частей равенства

scwec в сообщении #867040 писал(а):

то $X\times\operatorname{rot}Y=\operatorname{grad}f$

получим $[u,v]=g u.$

Векторное поле $u$ интегрируется.

Сузим поля $u,v$ на поверхность уровня $f$ и выпрямим поле $u:\quad u=(1,0).$
В этих координатах $$g=g(x^2),\quad v^2=v^2(x^2),\quad v^1=x^1g(x^2)+C(x^2)$
следовательно, система $\dot x^1=v^1,\quad \dot x^2=v^2$ интегрируется

[scwec]

Да, всё правильно. Задача фактически на применение формулы гомотопии.

[Oleg Zubelevich]

а как это делать в инвариантных терминах?

[scwec]

По поводу инвариантности.
Пусть $\omega^1,\omega^2$ дуальные формы к полям $X,\operatorname{rot}Y$ на $f=\operatorname{const}$, тогда интегрирующий множитель для обеих форм равен $\operatorname{\exp}(\int{-\operatorname{div}X\cdot\omega^1})$ ( доказательство общего утверждения в теме о групповом анализе).
Таким образом находятся первые интегралы для полей $X,\operatorname{rot}Y$ на $f=\operatorname{const}$