2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 18:27 
В $\mathbb{R}^3$ заданы два гладких векторных поля $X,Y$.
Известно, что $X\times\operatorname{rot}Y=\operatorname{grad}f$ и $\operatorname{rot}{Y}(\operatorname{div}X)=0$.
Докажите, что в односвязной области линейной независимости $X,\operatorname{rot}{Y}$ поле $X$ интегрируется в квадратурах.
Попросту говоря, найдите квадратурами еще один первый интеграл для $X$ (поскольку $f$ уже известен).
P.S. хорошо известен частный случай $X,Y=v$, где $v$ - поле скоростей стационарного движения идеальной несжимаемой жидкости с потенциальными массовыми силами и баротропией.

 
 
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 18:53 
scwec в сообщении #867040 писал(а):
и $\operatorname{rot}{Y}(\operatorname{div}X)=0$.

не понял эту формулу

 
 
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 18:53 
Аватара пользователя
Как читается ваша вторая формула?

 
 
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 19:18 
Вcё в эвклидовых координатах. $\operatorname{rot}{Y}$ - векторное поле, $\operatorname{div}{X}$ - функция.

 
 
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 19:22 
там, что умножить на дивиргенцию ? ротор от Y или от произведения?

 
 
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 19:33 
Уже совсем грубо. Пусть векторное поле $Z=\operatorname{rot}{Y}$ и функция $F=\operatorname{div}{X}$.
Второе условие: $Z(F)=0$.

 
 
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 20:50 
Аватара пользователя
Что означает нотация ``векторное поле'' $($``функция''$)$? И заодно, в каком учебнике она введена?

 
 
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 21:09 
где только такая нотация не введена, это производная Ли

 
 
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 21:12 
Для Munin: очень хорошо Вас понимаю.
Лучше всего Вам прочитать и освоить текст В.И.Арнольда из книги "Математические методы классической механики" (у меня третье издание) в данном случае стр. 169 и далее (Д. Пример 2. Векторный анализ).
Предложенная мной задача совсем не тривиальная. Но её нельзя решать, пока не освоены азы.

 
 
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 23:54 
введем обозначения $v=X,\quad u=rot\, Y,\quad g=div\, X$. Тогда $g$ --- первый интеграл поля $u$ и $f$ -- первый интеграл полей $u,v$.

возьмем ротор от обеих частей равенства
scwec в сообщении #867040 писал(а):
то $X\times\operatorname{rot}Y=\operatorname{grad}f$


получим $[u,v]=g u.$

Векторное поле $u$ интегрируется.

Сузим поля $u,v$ на поверхность уровня $f$ и выпрямим поле $u:\quad u=(1,0).$
В этих координатах $$g=g(x^2),\quad v^2=v^2(x^2),\quad v^1=x^1g(x^2)+C(x^2)$
следовательно, система $\dot x^1=v^1,\quad \dot x^2=v^2$ интегрируется

 
 
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение24.05.2014, 05:50 
Да, всё правильно. Задача фактически на применение формулы гомотопии.

 
 
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение24.05.2014, 07:06 
а как это делать в инвариантных терминах?

 
 
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение24.05.2014, 10:29 
По поводу инвариантности.
Пусть $\omega^1,\omega^2$ дуальные формы к полям $X,\operatorname{rot}Y$ на $f=\operatorname{const}$, тогда интегрирующий множитель для обеих форм равен $\operatorname{\exp}(\int{-\operatorname{div}X\cdot\omega^1})$ ( доказательство общего утверждения в теме о групповом анализе).
Таким образом находятся первые интегралы для полей $X,\operatorname{rot}Y$ на $f=\operatorname{const}$

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group