То для вычисления интеграла по замкнутой кривой можно ввести два типа или класса вычетов, вычеты по двум образующем тора
Они не называются вычетами. Они называются когомологиями. А так - да.
А если мы рассмотрим не тор, а другое тело с нетривиальной топологией, то как для него можно вводить вычеты?
Есть техника вычислений на эту тему. В учебниках по алгебраической топологии она изложена. Называется "вычисление группы когомологий".