Бинарные отношения

[masterflomaster]

Помогите разобраться.
Вот такая вот задача.

На множестве $\textbf{R}$$ задано бинарное отношение $aFa \Leftrightarrow a^2+a=b^2+b$. Докажите, что $F$ отношение эквивалентности. Сколько элементов может содержать класс эквивалентности?

Отношение эквивалентности (рефлексивность $\&$ симметричность $\&$ транзитивность) я доказал, а вот с количеством элементов я не очень понял. Нужно найти такие $a$ и $b$ на $\textbf{R}$, чтобы выполнялось равенство $a^2+a=b^2+b$?

[Brukvalub]

Зафиксируйте элемент $b$ и найдите число решений $a$ уравнения $a^2+a=b^2+b$

[masterflomaster]

Введем обозначение $b^{2}+b = c$.
При любом вещественном $b$ не лежащим в промежутке (-1,-0,25), уравнение $a^{2}+a-c =0$ всегда имеет дискриминант больший либо равный нулю, следовательно $a$ может принимать два значения при дискриминанте больше нуля и одно значение при дискриминанте равном нулю. А если $b$ лежит в промежутке (-1,-0,25), то дискриминант меньше нуля и $a$ уже не является вещественным числом.

Значит класс эквивалентности содержит 2 или 3 элемента в зависимости от дискриминанта?

[provincialka]

masterflomaster в сообщении #864214 писал(а):

Значит класс эквивалентности содержит 2 или 3 элемента в зависимости от дискриминанта?

Откуда три? Предъявите такой класс!

masterflomaster в сообщении #864214 писал(а):

При любом вещественном $b$ не лежащим в промежутке (-1,-0,25),

Странное высказывание. То есть при каких-то $b$ уравнение $x^2+x=b^2+b$ не имеет решений? Впрочем, это не важно для ответа на вопрос задачи.

Представьте уравнение графически: парабола $y = x^2+x$ пересекается прямой $y=c$. Сколько решений?

[bot]

masterflomaster в сообщении #864195 писал(а):

На множестве $\textbf{R}$ задано бинарное отношение $aFa \Leftrightarrow ... $

Исправьте.

[masterflomaster]

bot, спасибо, описался:
На множестве $\textbf{R}$ задано бинарное отношение $aFb \Leftrightarrow ... $

provincialka, что-то я на самом деле намудрил с дискриминантом.
Прямая $y=c$ либо пересекает две ветви параболы, либо проходит точно через вершину параболы, т.е при определенном $c$ мы имеем либо один корень, либо два.

[masterflomaster]

Т.е. класс содержит два элемента?

[ewert]

masterflomaster в сообщении #864771 писал(а):

Т.е. класс содержит два элемента?

Смотря какой.

[masterflomaster]

Класс эквивалентности.

[ewert]

Смотря какой.

[arseniiv]

masterflomaster, вы ведь сами написали:

masterflomaster в сообщении #864731 писал(а):

т.е при определенном $c$ мы имеем либо один корень, либо два

Случай одного корня никуда не девается. Вершине параболы соответствует класс из одного элемента. Остальным, так уж и быть, из двух.

Более наглядно: если перенести параболу вершиной в $(0,0)$, классы эквивалентности $[x]_F$ будут иметь вид $\{x,-x\}$. Ну а $0$ хоть с минусом, хоть без минуса будет один и тот же.

Да и для параболы в общем виде можете выписать функцию $[\cdot]\colon \mathbb R\to\mathbb R/F$.

[ewert]

Да не нужно наглядно, нужно тупо в лоб: $a^2+a=b^2+b\ \Leftrightarrow\ (a-b)(a+b+1)=0\ \Leftrightarrow\ \ldots$

[masterflomaster]

т.е. класс эквивалентности, где $a=b$, состоит из одного элемента, а другой класс эквивалентности, где $a=-b-1$ состоит из двух элементов?

[arseniiv]

Не так. $a = b$ — одно решение, $a = -b-1$ — другое, но они могут совпадать при $b = -b-1$. Когда они совпадают, один элемент в классе эквивалентности вместо двух.

[masterflomaster]

А у нас два разных решения, поэтому имеем два элемента в нашем классе эквивалентности?