Определённый интеграл.

[main.c]

$S = \int\limits_0^1\sqrt{x^3-x^4}dx$
$I = \int \sqrt{x^3-x^4}dx = \int x^2\sqrt{\frac{1}{x} - 1}dx = \frac{1}{3}\int \sqrt{\frac{1}{x} - 1}dx^3 =\\ \frac{1}{3}(\sqrt{\frac{1}{x} - 1}x^3 - \int x^3d\sqrt{\frac{1}{x} - 1}) $
$\sqrt{\frac{1}{x} - 1} = t$
$x = \frac{1}{t^2+1}$
$I = \frac{1}{3}(\frac{t}{(t^2+1)^3} - \int \frac{1}{(t^2+1)^3}dt) $
$t = tgz$
$I = \frac{1}{3}(tgz \cos^6z - \int \cos^4zdz) = \frac{1}{3}(\sin z\cos^5z - \frac{3}{8}z - \frac{1}{4} \sin 2z - \frac{1}{32}\sin 4z)$
$z = \arctg \sqrt{\frac{1}{x} - 1}$
$S = \int\limits_{\pi/2}^0 \frac{1}{3}(tgz \cos^6z - \int \cos^4zdz) dz \\= \int\limits_{\pi/2}^0 \frac{1}{3}(\sin z\cos^5z - \frac{3}{8}z - \frac{1}{4} \sin 2z - \frac{1}{32}\sin 4z) dz= 0$
Тут не должно получаться 0, но ошибки я не вижу, просьба показать, где она?

-- 14.05.2014, 21:35 --

Всё, уже не актуально.

(Оффтоп)

:facepalm: Я 10 минут набирал эти формулы, чтобы в самом-самом конце увидеть ошибку в подсчётах.

[ИСН]

Это какая-то езда через Гольяново в Строгино. Зачем Вы первым шагом делаете из выражения без дробей - выражение с дробями, да ещё и с особенностью? Зачем, о зачем Вы потом интегрируете по частям - для воспитания силы духа, что ли? Похвально, но есть же менее разрушительные способы.

[main.c]

ИСН в сообщении #863346 писал(а):

Это какая-то езда через Гольяново в Строгино. Зачем Вы первым шагом делаете из выражения без дробей - выражение с дробями, да ещё и с особенностью? Зачем, о зачем Вы потом интегрируете по частям - для воспитания силы духа, что ли? Похвально, но есть же менее разрушительные способы.

Ну и как же тогда лучше брать этот интеграл?

[ИСН]

Да хрен его знает. Я всегда испытывал непреодолимое отвращение к интегралам с корнями из полиномов второй степени (а по сути это именно он). Ну, можно попробовать сразу выкатить тригонометрическую замену с особенностями на обоих нулях полинома - т.е. $x={1+\sin t\over2}$.

[Rock`n`Rolla]

Я бы попробовал замену $t=x-\frac 1 2$.

[provincialka]

А зачем его брать, это же бета-функция в чистом виде.

[Limit79]

main.c в сообщении #863347 писал(а):

Ну и как же тогда лучше брать этот интеграл?

Как дифф. бином, может быть.

[ewert]

main.c в сообщении #863343 писал(а):

$\sqrt{\frac{1}{x} - 1} = t$
$x = \frac{1}{t^2+1}$
$t = tgz$

Всё это вполне разумно, однако применяться должно непосредственно к исходному интегралу.

-- Чт май 15, 2014 15:03:10 --

provincialka в сообщении #863368 писал(а):

А зачем его брать, это же бета-функция в чистом виде.

В учебных задачах не бывает бета-функций.

[Ms-dos4]

ewert
Почему не бывает? Тут тем более всё выразиться через значения гамма функции в целых и полуцелых точках, которые хорошо известны.
P.S.Кстати, это намного более простой путь, чем возиться с заменами.

[provincialka]

ewert в сообщении #863494 писал(а):

В учебных задачах не бывает бета-функций.

Бывает. Если это учебные задачи на Эйлеровы интегралы!

[ewert]

Ms-dos4 в сообщении #863504 писал(а):

Почему не бывает?

Потому, что учебные задачи даются не на спецфункции, а на отработку стандартных приёмов -- вот именно на то, чтобы

Ms-dos4 в сообщении #863504 писал(а):

возиться с заменами.

А тут, кстати, и возни-то особой нет.