Исследование ряда на сходимость

[tech]

Здравствуйте.
Необходимо исследовать следующий ряд на сходимость:
$\sum\limits_{i=1}^{\infty} (1-\sin{\frac1n}\ln{n})^n$
Ни признак Даламбера, ни признак Коши ответа не дают.
Я даже проверил на всякий случай признак Раабе.
$\lim\limits_{x\to \infty} n(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1)=1$
Тоже не даёт ответа.
Что я упускаю? Может быть, закралась опечатка?

[ewert]

$(1-\sin{\frac1n}\ln{n})^n=e^{n\ln(1-\sin{\frac1n}\ln{n})}$

В принципе, главный член формулы Тейлора всё сразу и даёт, надо только для обоснования оценить остаток.

[tech]

ewert в сообщении #863083 писал(а):

$(1-\sin{\frac1n}\ln{n})^n=e^{n\ln(1-\sin{\frac1n}\ln{n})}$

В принципе, главный член формулы Тейлора всё сразу и даёт, надо только для обоснования оценить остаток.

Не понимаю, что он даёт.

[ИСН]

Напишите его. Да.

[tech]

$n\ln(1-\sin(1/n)\ln{n})=n\ln(1-\ln{n}/n+o(\ln{n}/n))=n(-\ln{n}/n+o(\ln{n}/n))$
Получаем $(\frac{1}{n})^{(1+o(1))}$
Всё, понял. Значит, расходится. Так как $a_n\sim \frac{1}{n},\ n\to\infty$
Спасибо.

[ewert]

tech в сообщении #863094 писал(а):

Получаем $(\frac{1}{n})^{(1+o(1))}$
Всё, понял. Значит, расходится.

Пока ещё не поняли -- $o(1)$ недостаточно.

[ИСН]

Тоньше, тоньше. $(\frac1n)^{(1+o(1))}$ не обязательно расходится.

[tech]

Если я не ошибся, то вот что получается:
$(\frac{1}{n})^{(1+\frac{\ln{n}}{2n}+o(\frac{{\ln^2{n}}}{n^2}))}$
Только я не понимаю, что мне это даёт и почему $o(1)$ недостаточно.

[ewert]

tech в сообщении #863118 писал(а):

получается:

$\frac{1}{n}^{(1+\frac{\ln{n}}{2n}+o(\frac{{\ln^2{n}}}{n^2}))}$

Последнее слагаемое не годится, но это не важно; а важно -- дальше-то что?...

[tech]

ewert
Последнее слагаемое – это $o(\ln^2{n}/n^2)$? Кажется, да, если раскладывать до этого слагаемого, то должно быть еще $-\ln^2{n}/3n^2$. Но можно оставить так, до $o(\ln{n}/n)$
Вот я и не знаю, что дальше. Насколько я понимаю, был важен знак того $o(1)$, вот мы его и выяснили.
Но почему мало того, что $a_n\sim(1/n)$? Разве это не так? Или тогда мы не могли сделать такой вывод? Тогда почему?

[ewert]

tech в сообщении #863124 писал(а):

Или тогда мы не могли сделать такой вывод?

Не могли: $(\frac1n)^{(1+o(1))}$ могло бы оказаться, например, и $\sim\frac1{n\ln^2n}$

tech в сообщении #863124 писал(а):

Насколько я понимаю, был важен знак того $o(1)$, вот мы его и выяснили.

Нет, не знак. Т.е. один из знаков оказался бы для нас выгоден, другой же -- наоборот. Угадайте, какой у нас случай.

tech в сообщении #863124 писал(а):

Вот я и не знаю, что дальше.

Дальше назад -- Вы слишком рано убрали экспоненту.

tech в сообщении #863124 писал(а):

Последнее слагаемое – это $o(\ln^2{n}/n^2)$?

Да. Что означает "$o$" ?...

[tech]

ewert
Минус оказался бы выгоден. Тогда бы ряд точно расходился.
$f(x)=o(g(x)),\ x\to\infty$ означает, что начиная с некоторого $x_0$, выполняется $|f(x)|\leqslant|\alpha(x)||g(x)|$, где $\alpha(x)$ – бесконечно малая функция при $x\to\infty$.
Там следует написать дописать ещё одно слагаемое (дописал в предыдущих сообщениях).
В общем, вот что я придумал:
$\ln{n}+\frac{1}{2}\frac{(\ln{n})^2}{n}-...\leqslant \ln{n}+\ln(\ln{n})$ с некоторого $n$, так как
$\frac{1}{2}\frac{(\ln{n})^2}{n} \leqslant \ln(\ln{n})$ с некоторого $n$. Доказал это, посчитав предел отношения, который равен $0$.

$e^{(\ln{n}+\ln(\ln{n}))}=n\ln{n}$

$ \Rightarrow \frac{1}{e^{(1+o(1))}}\geqslant\frac{1}{n\ln{n}}$ – расходится. Верно? А каков Ваш вариант решения?

[ИСН]

Всё это перепишите через о-малые.
Или не надо.

[tech]

ИСН
Я вас не понял. Что переписать?
Что не надо?

[ИСН]

Всё своё рассуждение перепишите через о-малые, если хотите.
А не хотите - не надо.