2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти определитель
Сообщение12.05.2014, 12:46 
Найти определитель $e^A$ , не вычисляя матрицу $e^A$

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 \\
3 & 1 & -1 \\
2 & 1 & -3
\end{pmatrix}
$$

Самое первое, что пришло в голову, это найти собственные числа, но они там такие, что ни в сказке сказать, ни пером написать.

Также можно попробовать найти матрицу $M = C^{-1} A C $, но не могу подобрать матрицу С, да и смысл подбирать.. У матрицы $M$ собственные числа не будут отличны от матрицы $A$.

Что же делать дальше

 
 
 
 Re: Найти определитель
Сообщение12.05.2014, 12:56 
Аватара пользователя
А если вы все же найдете собственные числа (обозначьте их пока буквами), то как через них будет выражаться $\det(e^A)$?

 
 
 
 Re: Найти определитель
Сообщение12.05.2014, 13:00 
А матрица точно правильная, без опечаток? Mathematica с ума сходит. А, я неправильно просил.

 
 
 
 Re: Найти определитель
Сообщение12.05.2014, 13:01 
Katmandu в сообщении #862198 писал(а):
Самое первое, что пришло в голову, это найти собственные числа, но они там такие, что ни в сказке сказать, ни пером написать.
А не нужно собственные числа находить. Эта задача вообще-то для устного счёта.

 
 
 
 Re: Найти определитель
Сообщение12.05.2014, 13:02 
Если они все различны, то определитель будет равен $ e^{(\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _3)} $
__________________________
Матрица правильная, я проверил еще раз
__________________________

-- 12.05.2014, 15:48 --

nnosipov в сообщении #862203 писал(а):
Эта задача вообще-то для устного счёта.


Я не так умен, чтобы на ходу понять, что определитель будет равен $e^{SpA}$

 
 
 
 Re: Найти определитель
Сообщение12.05.2014, 13:05 
arseniiv в сообщении #862202 писал(а):
Mathematica с ума сходит.
А Вы приближённо посчитайте. Maple справился легко.

-- Пн май 12, 2014 17:06:41 --

Katmandu в сообщении #862204 писал(а):
Я не так умен, чтобы на ходу понять, что определитель будет равен $e^{SpA}$
Но ведь поняли же.

 
 
 
 Re: Найти определитель
Сообщение12.05.2014, 13:06 
Хм, не понимать... Сумма собственных чисел матрицы равно ее следу ??? :o :o :o :o

 
 
 
 Re: Найти определитель
Сообщение12.05.2014, 13:08 
nnosipov в сообщении #862206 писал(а):
А Вы приближённо посчитайте. Maple справился легко.
Уже посчитал и точно, $1/e$. Всё-таки надо аккуратно пользоваться системами. :lol:

 
 
 
 Re: Найти определитель
Сообщение12.05.2014, 13:09 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #862206 писал(а):
А Вы приближённо посчитайте. Maple справился легко.

(Оффтоп)

Подумаешь, я и на Ecxel приближенно посчитала! Чай, не баре, можем и по-простому... Ответ сошелся.

 
 
 
 Re: Найти определитель
Сообщение12.05.2014, 13:17 

(Оффтоп)

А мы со студентами на занятии обычно используем Wolframalpha, он всегда под рукой.

 
 
 
 Re: Найти определитель
Сообщение12.05.2014, 13:51 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #862213 писал(а):

(Оффтоп)

А мы со студентами на занятии обычно используем Wolframalpha, он всегда под рукой.

(Оффтоп)

Наши студенты, наверное, тоже пользуются. Но я же дома решала, нет у меня пакетов. Они, небось, платные. Да и лень разбираться :facepalm:

 
 
 
 Re: Найти определитель
Сообщение12.05.2014, 16:05 
Аватара пользователя
Katmandu в сообщении #862207 писал(а):
Хм, не понимать... Сумма собственных чисел матрицы равно ее следу ??? :o :o :o :o

Ну а как ещё. Про Жорданову нормальную форму знаете? Так вот, некоторые вещи (не хочу говорить прямо, какие именно) у матрицы будут такие же, как у её нормальной формы. Определитель, например. И след, например. А что такое след у нормальной формы?

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group