Жук на барабане

[dovlato]

Жук массой $m$ находится на барабане массой $M$. Барабан катится по горизонтальному полу.
Жук, не желая попасть под барабан, бежит по нему в обратную сторону.
Бегает жук очень хорошо. Нигде никаких проскальзываний нет.
Найти максимально возможное постоянное ускорение барабана.

[ewert]

dovlato в сообщении #861451 писал(а):

Бегает жук очень хорошо.

Насколько хорошо?... умеет ли он бегать со скоростью света и выше?...

Если умеет, то бегает по правой крайней точке, естественно.

[dovlato]

Нет, $v<<c$. По моему, не по крайней.

[Oleg Zubelevich]

жук может некоторое ограниченное время поддерживать ускорение барабана равным любой наперед заданной константе

[dovlato]

Oleg Zubelevich в сообщении #861613 писал(а):

жук может некоторое ограниченное время поддерживать ускорение барабана равным любой наперед заданной константе

Речь идёт о:
1. не релятивистском жуке
2. теоретически неограниченном времени.
На третье - Теорема: Обе задачи: 1-я о жуке, и 2-я о барабане, катящемся с постоянным ускорением
под действием сматывающейся с него нити с грузом на конце - физически эквивалентны.

[Oleg Zubelevich]

мы ищем решения такие, что высота на которой находится жук постоянна?

-- Вс май 11, 2014 18:25:09 --

dovlato в сообщении #861618 писал(а):

На третье - Теорема: Обе задачи: 1-я о жуке, и 2-я о барабане, катящемся с постоянным ускорением
под действием сматывающейся с него нити с грузом на конце - физически эквивалентны.

жук это система с одной степенью свободы; нить на барабане это две степени свободы

[dovlato]

Да, положение жука относительно оси барабана неизменно.
Нет; и там, и там - одна степень свободы. Потому что нить при постоянном(!) ускорении сохраняет постоянный наклон.

-- Вс май 11, 2014 21:00:33 --

Ну я же написал - постоянное ускорение (сама по себе задача с нитью известна давно; а вот жук прибежал ко мне давеча).
Чисто формально жук с барабаном - тоже 2 степени свободы: поворот барабана+смещение по нему жука.
Тут дело не этом, а в том, что решения обеих задач - в теснейшем родстве.

[drobyshev]

dovlato в сообщении #861451 писал(а):

Жук массой $m$ находится на барабане массой $M$. Барабан катится по горизонтальному полу.
Жук, не желая попасть под барабан, бежит по нему в обратную сторону.
Бегает жук очень хорошо. Нигде никаких проскальзываний нет.
Найти максимально возможное постоянное ускорение барабана.

$$\[ a_\mathrm{max}=\frac{mg}{\sqrt{\left(M+\dfrac{J}{r^2}\right)\left(2m+M+\dfrac{J}{r^2}\right)}}, \]$$

где $J$ -- момент инерции барабана, $r$ -- его радиус.

[dovlato]

У меня получился такой же результат, как у drobyshev.

[Oleg Zubelevich]

мне немного лень досчитывать

надо найти максимум функции

$$\varepsilon(\alpha)=\frac{mgr\sin\alpha}{J+mr^2+mr^2\cos\alpha+Mr^2}$$

так? $\varepsilon$ -- угловое ускорение барабана

-- Вс май 11, 2014 20:34:39 --

хорошая задача

[dovlato]

По-моему, косинус в знаменателе - с минусом. Я искал максимум

$$a=\frac{g\sin\alpha}{A-\cos\alpha}$$

[Oleg Zubelevich]

не исключено, что мы разные задачи решали



Через $\gamma$ обозначен угол поворота барабана. $f(t)$ -- угол поворота жука относительно барабана $f(t)+\gamma(t)=\alpha=const$

система с одной степенью свободы, обобщенная координата $\gamma$ ;
дальше пишем уравнения Лагранжа http://www.fayloobmennik.net/3791987

[Андрей123]

Oleg Zubelevich, у Вас $\cos,\sin$ перепутаны. Хотя чисто формально максимум будет тот же, просто $\cos\alpha<0$

[Oleg Zubelevich]

угол от оси y отсчитывается.

если не полениться идосчитать, то ответ совпадает с drobyshev

[Андрей123]

Да, извините не заметил. Интересно еще, что такое ускорение недостижимо, поскольку нормальная реакция со стороны барабана при таком движении будет 0.

У меня еще вопрос: насколько правомерно здесь составлять уравнения Лагранжа в общем случае? Т.к. при аппроксимации жука материальной точкой реакции же будут работу совершать.