Гипотеза различия

[Александрович]

Требуется по имеющимся данным по двум совокупностям $[X_1;X_n;\bar{X}]$ и $[Y_1;Y_m;\bar{Y}]$ проверить гипотезу об их отличии друг от друга. Распределение неизвестно. Посоветуйте что-нибудь.

[Brukvalub]

Стандартный ответ-ранговый критерий Манна-Уитни.

[Александрович]

Спасибо, но это не годится. Для каждой совокупности известен лишь набор четырех параметров: минимум, максимум, об"ем и среднее.

[Brukvalub]

Тогда только наугад.

[Александрович]

Должно же что-либо быть.

[provincialka]

Если так рассуждать, то можно сравнивать выборки, например, по названию. "Первая" и "вторая". Или "основная" и "контрольная" - совпадают ли они?

Александрович в сообщении #860115 писал(а):

Должно же что-либо быть.

Если минимум одной выборки больше максимума второй, возникает большое подозрение, что они все-таки не совпадают.

[Александрович]

provincialka в сообщении #860130 писал(а):

Если так рассуждать, то можно сравнивать выборки, например, по названию. "Первая" и "вторая". Или "основная" и "контрольная" - совпадают ли они? Ну, должно же что-то быть!

Как это понимать? Вы не знаете или в самом деле ничего не должно быть?

[provincialka]

Это цитата из вас. Типо юмор. Щас поправлю.

А если серьезно, то не знаю. Но чисто интуитивно минимум и максимум дают весьма мало информации: может, это случайные выбросы. Они же не "улучшаются" с ростом объема выборки.
Другое дело среднее: это, хотя бы, состоятельная оценка и при больших объемах довольно точна.

Впрочем, задача сформулирована нечетко. Что означает, что выборки "отличаются"? Отличаются их средние? Другие параметры? Распределения?

[Евгений Машеров]

Грубая оценка стандартного отклонения - $\sigma=(max-min)/6$
Такое прикидочное значение используется иногда в контроле качества.
Можно попробовать подставить эти оценки в обычный критерий разности матожиданий.
Но надо иметь в виду, что это не "настоящий статистический критерий", а некая грубая прикидка. Причём с неявным предположением, что распределение нормальное, "правило плюс-минус три сигма". Для неизвестного распределения вряд ли что-то можно сказать.

[Александрович]

provincialka в сообщении #860167 писал(а):

Впрочем, задача сформулирована нечетко. Что означает, что выборки "отличаются"? Отличаются их средние? Другие параметры? Распределения?

Имеется в виду статистически значимое отличие. Например, класс А в количестве $25$ чел. сдали ЕГЭ по математике с результатами: макс. балл - $90$, ср. балл - $70$, мин. балл - $50$. У класса Б в количестве $20$ чел. следующие результаты: макс. балл - $75$, ср. балл - $55$, мин. балл - $35$. Различия обусловлены случайными факторами или у классов разный уровень подготовки?

[provincialka]

Александрович, вы меня удивляете. Я понимаю, что вам нужны статистически значимые различия. Я спрашиваю между чем и чем? Судя по вашему примеру, все-таки между средними? Или между минимумами/максимумами тоже?
Вы же понимаете, что даже при одинаковых средних распределения оценок могут сильно отличаться, иногда вопрос ставят о всем распределении.
Например, в одном классе при весьма невысоком общем уровне есть пара "вундеркиндов". А в другом - уровень ровный, хотя и повыше, чем у большинства первого класса. При этом среднее значение может совпадать. Какой класс вы будете считать более подготовленным?
Я еще понимаю, если бы вы сравнивали двух учеников, которые пишут несколько тестов. Тут хоть можно разумным образом поставить задачу.

Евгений Машеров вам предложил метод расчета, но он по сути "среднепотолочный". Помните тему «Знаки зодиака»? Там казалось, что в данных есть существенные различия, хотя их не было. Особенно убедительным мне показался статистический эксперимент. Попробуйте проделать аналогичный, выбирая разные предположения о распределении оценок в классе.

[Евгений Машеров]

Для того, чтобы получить статистически значимые отличия, надо куда больше информации. И либо точные предположения о распределениях, либо непараметрические критерии при доступе ко всей выборке. А то, о чём я веду - эмпирический приём, который может навести на мысль, но "статистическим доказательством" не может быть.
$\sigma_A=(90-50)/6=6.67$
$\sigma_B=(75-35)/6=6.67$
Если принять, что на самом деле дисперсии равны, а возможные различия случайны, то для объединённой выборки $\sigma_U=\sqrt{\frac {39\cdot 6.67^2+19\cdot 6.67^2} {40+20-2}}=6.67$ (здесь я механически повторяю вычитание единицы, как если бы дисперсию считал по обычной схеме, через сумму квадратов отклонение от среднего; но я действительно не знаю, как тут правильно, хотя в данном случае, ввиду одинаковости размаха, это ничего не меняет)
$t=\frac {70-55}{6.67 \cdot \sqrt{1/25+1/20}}=7.5$
Для t-критерия это достаточно много, чтобы полагать, что различия есть. Но это не "статистический вывод", это "информация к размышлению". На основе которой можно потребовать проверки работы преподавателя отстающего класса, или попросить преподавателя успевающего класса поделиться опытом. Или обосновать необходимость полноценной проверки, в том числе и с построением "законных" статистических сравнений.
В реальности, если распределение может быть любым, возможен, скажем, вариант, что в классах есть один или несколько "гениев" и один или несколько "дебилов" (попадание которых в данный класс, разумеется, случайно), а остальные учатся совершенно ровно.
Предположим, например, что в классе А есть ровно один "дебил" с 50 баллами, несколько (обозначим Y) "гениев" по 90 и остальные с ровно Х баллами у каждого, суммарно дающие 1750 баллов (для среднего 70). В классе Б есть ровно один "гений" с 75 баллами, несколько (обозначим Z) "дебилов" с 35 баллами и остальные с теми же Х баллами, в сумме 1100 баллов.
Тогда
$50+90Y+X(25-1-Y)=1750$
$35Z+75+X(20-1-Z)=1100$
Соответственно
$X=\frac {1700-90Y}{24-Y}=\frac{1025-35Z}{19-Z}$
Довольно легко подобрать целые значения Y и Z, чтобы левая и правая части равенства были бы близки с точностью до десятых.
То есть численно то же самое, но вывод совершенно иной - преподавание одинаковое, основная масса получила равный уровень знаний, но есть выбросы, вызванные, возможно, комплектованием класса (причём такой разброс может быть вполне случаен)

[Александрович]

Спасибо всем, кто принял участие в обсуждении поставленной задачи. А теперь ближе к теме. Например речь идёт о тепловизионной диагностике рака молочной железы. На термограмме мы выделяем две области (правая и левая грудь) и программа обработки выдаёт нам только те параметры, о которых я упомянул в первом посте.
Вот здоровая женщина:

А вот проблемная:
.
Как всё-таки по приведённым параметрам проверить гипотезу о различии двух совокупностей?
В данном случае параметры совокупностей это температура.

[provincialka]

А что, есть только две картинки? Разве не была набрана статистика подобных случаев за предыдущее время?

[Александрович]

provincialka в сообщении #860539 писал(а):

А что, есть только две картинки?

Это две разные женщины.

provincialka в сообщении #860539 писал(а):

Разве не была набрана статистика подобных случаев за предыдущее время?

Такой информацией не обладаю. Вы, например, каждые три месяца проходите тепловизионное обследование своей груди? Наверняка обратитесь впервые, когда занеможите. Поэтому у врача при первом приёме информация только по различию в параметрах тепловизионного поля вашей правой и левой груди. А различаются ли они, вот в чём вопрос!