Ptolemaica

[xelth]

Тред восьмилетней выдержки, но досадно оставлять его в состоянии «автор согласился с возражением» — когда согласился он зря. Точнее, наполовину зря.

Во-первых, про «жидкость или хрусталь». Аргумент с энтропией Гиббса честно убивает жёсткость потока на фазовом многообразии: расстояния между соседними траекториями рвутся как $e^{\lambda t}$, на то он и Ляпунов. Но исходная интуиция автора была не про многообразие, а про гильбертово пространство. Эти две картинки связаны точной конструкцией, которую за четыре года треда так никто и не назвал: Купман и фон Нейман, 1931–32. Классическая механика поднимается в $L^2$ над фазовым пространством, лиувиллиан $\hat L$ там самосопряжён, и поток становится честной унитарной группой $U_t=e^{it\hat L}$. Итого: «жидкость» на многообразии и «хрусталь» в $L^2$ — одновременно и без противоречия. Энтропия растёт в проекции, при огрублении; подъём вертится жёстко. Автор сдался аргументу, который бьёт не по его тезису, а по соседнему.

Во-вторых, про «Природа не знает производных». Производной нужна бесконечно малая окрестность момента. А разложению на «хрустальные сферы» нужна вся ось времени целиком, от $-\infty$ до $+\infty$: Фурье нелокален во времени радикальнее любой производной. Меняя динамику на кинематику, вы меняете локальный закон на предначертание — чтобы знать, как вертится сфера, надо заранее знать всю историю мира. Это не физика без производных, это фатализм с хорошим математическим вкусом.

В-третьих, про Птолемея — самое смешное. Эпициклы суть ряд Фурье, а рядом Фурье с достаточным числом членов описывается любая замкнутая кривая — хоть орбита Марса, хоть профиль Гомера Симпсона (ролик популярный, но математика в нём честная). Описание, подгоняемое подо всё, не предсказывает ничего. Ньютон победил не потому, что «динамика естественнее», а потому, что $\ddot{\vec r}=-GM\vec r/r^3$ можно опровергнуть, а набор эпициклов — нельзя. Возвращение к кинематике есть возвращение к универсальному аппроксиматору. У нас такой уже есть, называется «нейросеть», и предсказательная сила её в физике примерно птолемеевская

Итого: рациональное зерно в стартовом сообщении было, и даже действительное — просто лежало не там, где искали. Не «долой производные», а «унитарный подъём есть и у классики». Кому интересно, куда это ведёт: перемешивание = непрерывный спектр $\hat L$, спектральная теория динамических систем; см. Арнольд, Авец, «Эргодические проблемы классической механики».

[Евгений Машеров]

В бытность мою на экономическом факультете один доцент предложил способ прогнозирования экономических показателей - разложить в ряд Фурье и вперёд. Пришлось поломать малину, напомнив, что, в силу периодичности, прогноз будет в точности повторять ряд данных, на основе которых он строился...