Числа a, b, c, d

[mr.daos]

Добрый день! Хотел бы кое-что прояснить.

Действительные числа $a, b, c, d, S$ таковы, что $S=a+b+c+d, S=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ и $S=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1-d}, a, b, c, d\not=1;0.$ Найти $S.$
Мое решение
Пусть $a, b, c, d$ - корни приведенного многочлена 4-ой степени $P(x)=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d); a_1, a_2, a_3, a_4$ - некоторые коэффициенты. Так как $\frac{P'(x)}{P(x)}=\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}+\frac{1}{x-d}$, то можно записать $\frac{P'(0)}{P(0)}=-S$ и $\frac{P'(1)}{P(1)}=S$.
Таким образом,

$$\frac{a_3}{a_4}=-S\eqno{(1)}$$

и

$$\frac{3a_1+2a_2+a_3+4}{a_1+a_2+a_3+a_4+1}=S\eqno{(2)}$$

Из теоремы Виета найдем

$$a_1=-(a+b+c+d)=-S\eqno{(3)}$$

С помощью $(1)$ и $(3)$, равенство $(2)$ преобразуется к виду

$$\frac{-3S+2a_2-a_4S+4}{-S+a_2-a_4S+a_4+1}=S$$

из которого найдем, что $S=2, (a_2\not=a_4+1)$ и $S=\frac{a_2+2}{a_4+1}, (a_4+1\not=0; a_4\not=1).$
С двойкой то все ясно, но что делать со вторым значением для $S?$ Можно ли утверждать, что для любого значения $S$ найдутся такие $a_2, a_4$, что все корни многочлена $P(x)$ будут действительными (числа $a, b, c, d$)?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите собственные попытки решения и укажите затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[nnosipov]

mr.daos в сообщении #859416 писал(а):

С двойкой то все ясно, но что делать со вторым значением для $S?$

Может быть, пропущено ещё какое-нибудь условие в задаче? Укажите источник задачи.

mr.daos в сообщении #859416 писал(а):

Можно ли утверждать, что для любого значения $S$ найдутся такие $a_2, a_4$, что все корни многочлена $P(x)$ будут действительными (числа $a, b, c, d$)?

Похоже на правду.