2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Числа a, b, c, d
Сообщение05.05.2014, 13:06 


05/05/14
35
Добрый день! Хотел бы кое-что прояснить.

Действительные числа $a, b, c, d, S$ таковы, что $S=a+b+c+d, S=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ и $S=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1-d}, a, b, c, d\not=1;0.$ Найти $S.$
Мое решение
Пусть $a, b, c, d$ - корни приведенного многочлена 4-ой степени $P(x)=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d); a_1, a_2, a_3, a_4$ - некоторые коэффициенты. Так как $\frac{P'(x)}{P(x)}=\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}+\frac{1}{x-d}$, то можно записать $\frac{P'(0)}{P(0)}=-S$ и $\frac{P'(1)}{P(1)}=S$.
Таким образом, $$\frac{a_3}{a_4}=-S\eqno{(1)}$$ и $$\frac{3a_1+2a_2+a_3+4}{a_1+a_2+a_3+a_4+1}=S\eqno{(2)}$$
Из теоремы Виета найдем $$a_1=-(a+b+c+d)=-S\eqno{(3)}$$
С помощью $(1)$ и $(3)$, равенство $(2)$ преобразуется к виду $$\frac{-3S+2a_2-a_4S+4}{-S+a_2-a_4S+a_4+1}=S$$ из которого найдем, что $S=2, (a_2\not=a_4+1)$ и $S=\frac{a_2+2}{a_4+1}, (a_4+1\not=0; a_4\not=1).$
С двойкой то все ясно, но что делать со вторым значением для $S?$ Можно ли утверждать, что для любого значения $S$ найдутся такие $a_2, a_4$, что все корни многочлена $P(x)$ будут действительными (числа $a, b, c, d$)?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.05.2014, 14:08 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите собственные попытки решения и укажите затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.05.2014, 15:56 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа a, b, c, d
Сообщение05.05.2014, 17:04 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
mr.daos в сообщении #859416 писал(а):
С двойкой то все ясно, но что делать со вторым значением для $S?$
Может быть, пропущено ещё какое-нибудь условие в задаче? Укажите источник задачи.
mr.daos в сообщении #859416 писал(а):
Можно ли утверждать, что для любого значения $S$ найдутся такие $a_2, a_4$, что все корни многочлена $P(x)$ будут действительными (числа $a, b, c, d$)?
Похоже на правду.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group