Спектр Лапласиана с краевыми условиями Робэна в секторе

[Asalex]

Здравствуйте!

Мы рассматриваем задачу оператор Лапласа $-\Delta f(x,y)$ в области $\Omega = {(x,y): y\geq \tg\alpha|x|}$
с краевыми условиями $\frac{\partial f}{\partial n} = \beta f,$ где $n$ -внешняя нормаль, а $\beta>0$ - положительная константа.
Задача состоит в нахождении спектра данного оператора.

Я попробовал перейти к полярным координатам, $f(x,y) = f(r,\varphi)$,
$\left\{\begin{array}{ccc}x = r \cos \varphi,\\ y = r \sin\varphi, \end{array}\right., r\geq 0 , |\varphi| \leq \alpha $, для того чтобы можно было разделить переменные. Тогда оператор переписывается как
$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}$,
граничные условия $\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi}|\limits_{\varphi = \pm\alpha} = \beta f(r,\pm\alpha).$

Однако разделения переменных не получается, так как в краевом условии возникает $r.$
Как тут надо действовать?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[svv]

Действительно, отдельная гармоника вида $R(r)\Phi(\varphi)$ не может удовлетворять краевому условию Робэна на $\varphi=\operatorname{const}$.

Asalex в сообщении #856706 писал(а):

Как тут надо действовать?

Как действовать — не знаю, но разделение не проходит.

Есть такая статья:
Denis S. Grebenkov, Binh-Thanh Nguyen. Geometrical structure of Laplacian eigenfunctions.
Она есть в арХиве. Там в начале рассматриваются собственные функции оператора Лапласа для областей простой формы и всех трёх основных краевых условий — Дирихле, Неймана и Робэна. Открываем многообещающий пункт 3.2 «Disk, sector and circular annulus» и читаем:

Цитата:

For a circular sector of radius $R$ and of angle $\pi\beta$, the eigenfunctions are

$$u_{nk}(r,\varphi)=J_{n/\beta}(\alpha_{nk}r/R)\times\begin{cases}\sin(n\varphi/\beta)&(\text{Dirichlet})\\ \cos(n\varphi/\beta)&(\text{Neumann})\end{cases}\quad(r<R, 0<\varphi<\pi\beta)\eqno{(3.10)}$$

И на самом интересном месте — облом:

Цитата:

The Robin boundary condition ... can be treated similarly.

Хочется написать Денису Гребенькову письмо и спросить, какие собственные функции он имел в виду для этого случая. Может, Вы так и сделаете? (если получится, напишите, мне интересно, что он ответит )

[armez]

А если конформно отобразить сектор на полуплоскость (например, на верхнюю)?

[g______d]

svv в сообщении #857361 писал(а):

И на самом интересном месте — облом:

Судя по тексту, именно этот случай автор мог и не иметь в виду.

[Asalex]

Уважаемый svv,
спасибо за Ваш ответ.

svv в сообщении #857361 писал(а):

Хочется написать Денису Гребенькову письмо и спросить, какие собственные функции он имел в виду для этого случая. Может, Вы так и сделаете? (если получится, напишите, мне интересно, что он ответит )

Денису Гребенькову я написал, если он ответит я дам Вам знать.
Но все же у меня в основном вопрос по непрерывному спектру, то есть рассматриваем бесконечный угол. Пусть даже угол равен 90 градусам, то есть область $x\geq 0 ,y\geq 0$. В этом случае переходить к полярным координатам не нужно, переменные разделяются и так,
$\left\{\begin{array}{ccc}-f_{xx}-f_{yy} = k^2 f,\\ f_x(0,y) = -\beta f(0,y),\\ f_y(x,0) = -\beta f(x,0).\end{array}\right.$
Разделяем переменные $f(x,y) = X(x) Y(y),$
$\frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} - k^2,$
обозначаем правую часть через $z^2,$ получаем
$\frac{X''(x)}{X(x)} = z^2,$
$\frac{Y''(y)}{Y(y)} = -(k^2 + z^2).$
Собственных функций мы таким образом не находим, но есть ограниченные решения -- это
$e^{-\beta x} \cos(\sqrt{k^2+\beta^2} y), \qquad e^{-\beta x} \sin(\sqrt{k^2+\beta^2} y),\qquad e^{-\beta y} \cos(\sqrt{k^2+\beta^2} x),\qquad e^{-\beta y} \sin(\sqrt{k^2+\beta^2} x),$
где $k$ решает уравнение
$\frac{\sqrt{k^2+\beta^2}\sin\sqrt{k^2+\beta^2}}{\cos\sqrt{k^2+\beta^2}} = \beta$. (очевидно что решения есть)
Как дальше искать непрерывный спектр?