2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Спектр Лапласиана с краевыми условиями Робэна в секторе
Сообщение29.04.2014, 12:09 
Аватара пользователя
Здравствуйте!

Мы рассматриваем задачу оператор Лапласа $-\Delta f(x,y)$ в области $\Omega = {(x,y): y\geq \tg\alpha|x|}$
с краевыми условиями $\frac{\partial f}{\partial n} = \beta f,$ где $n$ -внешняя нормаль, а $\beta>0$ - положительная константа.
Задача состоит в нахождении спектра данного оператора.

Я попробовал перейти к полярным координатам, $f(x,y) = f(r,\varphi)$,
$\left\{\begin{array}{ccc}x = r \cos \varphi,\\ y = r \sin\varphi, \end{array}\right., r\geq 0 , |\varphi| \leq \alpha $, для того чтобы можно было разделить переменные. Тогда оператор переписывается как
$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}$,
граничные условия $\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi}|\limits_{\varphi = \pm\alpha} = \beta f(r,\pm\alpha).$

Однако разделения переменных не получается, так как в краевом условии возникает $r.$
Как тут надо действовать?

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение29.04.2014, 14:11 
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 
 
 
 Re: Спектр Лапласиана с краевыми условиями Робэна в секторе
Сообщение30.04.2014, 21:44 
Аватара пользователя
Действительно, отдельная гармоника вида $R(r)\Phi(\varphi)$ не может удовлетворять краевому условию Робэна на $\varphi=\operatorname{const}$.
Asalex в сообщении #856706 писал(а):
Как тут надо действовать?
Как действовать — не знаю, но разделение не проходит.

Есть такая статья:
Denis S. Grebenkov, Binh-Thanh Nguyen. Geometrical structure of Laplacian eigenfunctions.
Она есть в арХиве. Там в начале рассматриваются собственные функции оператора Лапласа для областей простой формы и всех трёх основных краевых условий — Дирихле, Неймана и Робэна. Открываем многообещающий пункт 3.2 «Disk, sector and circular annulus» и читаем:
Цитата:
For a circular sector of radius $R$ and of angle $\pi\beta$, the eigenfunctions are$$u_{nk}(r,\varphi)=J_{n/\beta}(\alpha_{nk}r/R)\times\begin{cases}\sin(n\varphi/\beta)&(\text{Dirichlet})\\ \cos(n\varphi/\beta)&(\text{Neumann})\end{cases}\quad(r<R, 0<\varphi<\pi\beta)\eqno{(3.10)}$$
И на самом интересном месте — облом:
Цитата:
The Robin boundary condition ... can be treated similarly.
Хочется написать Денису Гребенькову письмо и спросить, какие собственные функции он имел в виду для этого случая. Может, Вы так и сделаете? (если получится, напишите, мне интересно, что он ответит :wink: )

 
 
 
 Re: Спектр Лапласиана с краевыми условиями Робэна в секторе
Сообщение01.05.2014, 18:34 
А если конформно отобразить сектор на полуплоскость (например, на верхнюю)?

 
 
 
 Re: Спектр Лапласиана с краевыми условиями Робэна в секторе
Сообщение01.05.2014, 22:36 
Аватара пользователя
svv в сообщении #857361 писал(а):
И на самом интересном месте — облом:


Судя по тексту, именно этот случай автор мог и не иметь в виду.

 
 
 
 Re: Спектр Лапласиана с краевыми условиями Робэна в секторе
Сообщение04.05.2014, 15:39 
Аватара пользователя
Уважаемый svv,
спасибо за Ваш ответ.
svv в сообщении #857361 писал(а):
Хочется написать Денису Гребенькову письмо и спросить, какие собственные функции он имел в виду для этого случая. Может, Вы так и сделаете? (если получится, напишите, мне интересно, что он ответит :wink: )

Денису Гребенькову я написал, если он ответит я дам Вам знать. :wink:
Но все же у меня в основном вопрос по непрерывному спектру, то есть рассматриваем бесконечный угол. Пусть даже угол равен 90 градусам, то есть область $x\geq 0 ,y\geq 0$. В этом случае переходить к полярным координатам не нужно, переменные разделяются и так,
$\left\{\begin{array}{ccc}-f_{xx}-f_{yy} = k^2 f,\\
f_x(0,y) = -\beta f(0,y),\\
f_y(x,0) = -\beta f(x,0).\end{array}\right.$
Разделяем переменные $f(x,y) = X(x) Y(y),$
$\frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} - k^2,$
обозначаем правую часть через $z^2,$ получаем
$\frac{X''(x)}{X(x)} = z^2,$
$\frac{Y''(y)}{Y(y)} = -(k^2 + z^2).$
Собственных функций мы таким образом не находим, но есть ограниченные решения -- это
$e^{-\beta x} \cos(\sqrt{k^2+\beta^2} y), \qquad e^{-\beta x} \sin(\sqrt{k^2+\beta^2} y),\qquad
e^{-\beta y} \cos(\sqrt{k^2+\beta^2} x),\qquad
e^{-\beta y} \sin(\sqrt{k^2+\beta^2} x),$
где $k$ решает уравнение
$\frac{\sqrt{k^2+\beta^2}\sin\sqrt{k^2+\beta^2}}{\cos\sqrt{k^2+\beta^2}} = \beta$. (очевидно что решения есть)
Как дальше искать непрерывный спектр?

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group