Задачка на линейные подпространства

[Mathew Rogan]

Помогите решить, сам что-то никак не могу(

Доказать, что если сумма размерностей двух линейных подпространств n-мерного пространства больше n, то эти подпространства имеют общий ненулевой вектор.

Заранее спасибо)

[nnosipov]

Оцените размерность пересечения, опираясь на хорошо известную формулу.

[Mathew Rogan]

Имеете в виду формулу Грассмана? Как тогда быть с размерностью суммы подпространств?

[nnosipov]

Mathew Rogan в сообщении #855325 писал(а):

Как тогда быть с размерностью суммы подпространств?

Тоже оценить.

[Mathew Rogan]

Не могу понять. У нас ведь нет размерностей ни первого, ни второго подпространств.

[nnosipov]

Mathew Rogan в сообщении #855344 писал(а):

У нас ведь нет размерностей ни первого, ни второго подпространств.

Нет. Но кое-что мы про них знаем. Вот отсюда и танцуйте.

Смотрите сюда: $\dim{(L_1+L_2)}=\dim{L_1}+\dim{L_2}-x$, где $x=\dim{(L_1 \cup L_2)}$.

[Mathew Rogan]

Хм... По формуле Грассмана $dim(L_1 \bigcap L_2) = dim(L_1) + dim(L_2) - dim(L_1 + L_2)$

Если обозначить $dim(L_1) = i$, $dim(L_2) = j$, то $i+j>n$ и

$dim(L_1 \bigcap L_2) = i + j - dim(L_1 + L_2)$

И что же дальше? Как оценивать?

[nnosipov]

Mathew Rogan в сообщении #855352 писал(а):

Как оценивать?

Оцените $i+j$. Затем оцените $\dim{(L_1+L_2)}$. Что больше?

[Mathew Rogan]

Вот здесь я немного сомневаюсь. Насколько я понимаю, размерность суммы не может превышать n?

[nnosipov]

Конечно, прочь сомнения. Ну, собственно и всё. Так?

[Mathew Rogan]

Да, спасибо большое. Только насчёт последнего пункта: "размерность суммы не может превышать n". Это теорема, или свойство, или это просто очевидно?))

[nnosipov]

Очевидно, ведь сумма подпространств --- тоже подпространство того же самого пространства. Просто по определению.

[Mathew Rogan]

Да, действительно, это же совсем просто. Ещё раз большое спасибо)

[nnosipov]

Да пожалуйста, приходите ещё :)

[ewert]

Есть мнение, что эта задача должна идти до всяких формул. Если смешать базисные векторы первого и второго подпространств в одну общую кучу, то по условию некоторая нетривиальная линейная комбинация всех этих векторов равна нулю. Разбейте эту комбинацию на две -- составленную из векторов только первого подпространства и из векторов только второго. Хотя бы одна из этих комбинаций нетривиальна -- и, следовательно, не равна нулю...