2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 16:00 
Помогите решить, сам что-то никак не могу(

Доказать, что если сумма размерностей двух линейных подпространств n-мерного пространства больше n, то эти подпространства имеют общий ненулевой вектор.

Заранее спасибо)

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 16:05 
Оцените размерность пересечения, опираясь на хорошо известную формулу.

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 16:07 
Имеете в виду формулу Грассмана? Как тогда быть с размерностью суммы подпространств?

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 16:29 
Mathew Rogan в сообщении #855325 писал(а):
Как тогда быть с размерностью суммы подпространств?
Тоже оценить.

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 16:33 
Не могу понять. У нас ведь нет размерностей ни первого, ни второго подпространств.

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 16:37 
Mathew Rogan в сообщении #855344 писал(а):
У нас ведь нет размерностей ни первого, ни второго подпространств.
Нет. Но кое-что мы про них знаем. Вот отсюда и танцуйте.

Смотрите сюда: $\dim{(L_1+L_2)}=\dim{L_1}+\dim{L_2}-x$, где $x=\dim{(L_1 \cup L_2)}$.

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 16:45 
Хм... По формуле Грассмана $dim(L_1 \bigcap L_2) = dim(L_1) + dim(L_2) - dim(L_1 + L_2)$

Если обозначить $dim(L_1) = i$, $dim(L_2) = j$, то $i+j>n$ и

$dim(L_1 \bigcap L_2) = i + j - dim(L_1 + L_2)$

И что же дальше? Как оценивать?

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 16:47 
Mathew Rogan в сообщении #855352 писал(а):
Как оценивать?
Оцените $i+j$. Затем оцените $\dim{(L_1+L_2)}$. Что больше?

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 16:49 
Вот здесь я немного сомневаюсь. Насколько я понимаю, размерность суммы не может превышать n?

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 16:58 
Конечно, прочь сомнения. Ну, собственно и всё. Так?

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 16:59 
Да, спасибо большое. Только насчёт последнего пункта: "размерность суммы не может превышать n". Это теорема, или свойство, или это просто очевидно?))

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 17:01 
Очевидно, ведь сумма подпространств --- тоже подпространство того же самого пространства. Просто по определению.

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 17:03 
Да, действительно, это же совсем просто. Ещё раз большое спасибо)

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 17:05 
Да пожалуйста, приходите ещё :)

 
 
 
 Re: Задачка на линейные подпространства
Сообщение26.04.2014, 17:11 
Есть мнение, что эта задача должна идти до всяких формул. Если смешать базисные векторы первого и второго подпространств в одну общую кучу, то по условию некоторая нетривиальная линейная комбинация всех этих векторов равна нулю. Разбейте эту комбинацию на две -- составленную из векторов только первого подпространства и из векторов только второго. Хотя бы одна из этих комбинаций нетривиальна -- и, следовательно, не равна нулю...

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group