Теория чисел

[boriska]

Дана бесконечная арифметическая прогресия, первый член равен 2011, а разность равна 11. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор пока не получалась последовательностью однозначных чисел.

1) найдите тысячное число получившейся последовательности.
2) найдите сумму первой тысячи чисел получившейся последовательности.
3) чему может равняться наименьшая сумма 1010 чисел, получившейся последовательности идущих подряд?

1) Первый пункт -- просто.
$a_{1000}=a_1+999d=2011+999\cdot 11=13000$

2) Вот со вторым не ясно. Подсказали, что нужно использовать два утверждения:

Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, что и само число.

Сумма чисел имеет такой же остаток от деления на 9, как и остаток от деления суммы остатков этих чисел при делении на 9.

Сами эти утверждения я понял, но как их применить аккуратно, подскажите, пожалуйста, или какой-нибудь другой способ...

[ИСН]

Что тут простого, например? У Вас условие гласит:

boriska в сообщении #854855 писал(а):

действовали так до тех пор пока не получалась последовательностью однозначных чисел

Ещё раз:

Цитата:

однозначных

У Вас написано цифр 13000. Это число зачем? Это однозначное число?

[boriska]

ИСН в сообщении #854864 писал(а):

У Вас написано цифр 13000. Это число зачем? Это однозначное число?

Ой, забыл написать, что ему соответствует число $1+3+0+0+0=4$

[ИСН]

Ага!
Так-то лучше.
А что Вы таки думаете за всю последовательность (не арифметическую, а однозначных чисел)? Следующее число в ней какое? А ещё 20 следующих? А не видно ли в них какой-нибудь закономерности?

[Jake]

Первое что приходит в голову -что остатки от деления на 9 данной арифметической прогрессии и есть конечные члены

[boriska]

ИСН в сообщении #854882 писал(а):

Ага!
Так-то лучше.
А что Вы таки думаете за всю последовательность (не арифметическую, а однозначных чисел)? Следующее число в ней какое? А ещё 20 следующих? А не видно ли в них какой-нибудь закономерности?

4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5....

-- 25.04.2014, 23:17 --

Jake в сообщении #854901 писал(а):

Первое что приходит в голову -что остатки от деления на 9 есть конечные члены

А что с этими отстатками делать?

[Jake]

а почему 4,5,5,....?
И ,кстати я не знаю как может помочь второе утверждение, по-моему оно и так очевидно

[boriska]

Главный вопрос вот в чем -- как связаны остатки от деления с последовательностью однозначных чисел.

[iifat]

Да нет же. Главный вопрос: вы таки в состоянии выписать двадцать первых членов вашей последовательности? Правильно выписать...

[boriska]

Спасибо.
Первые 20 чисел.

4 6 8 1 3 5 7 9 2 4 6 8 2 3 5 7 9 2 4 6

$4+6+8+1+3+5+7+9+2=45$

$45\cdot 111=4995$

$4995+4=4999$

Ответ: Сумма будет равна $4999$.

Получилось так

-- 26.04.2014, 14:21 --

И все-таки.. как связаны остатки от деления с последовательностью однозначных чисел?

[provincialka]

boriska, вам бы надо литературу почитать по теории чисел. Популярную, для школьников. Про сравнения по модулю, например. В формате "вопрос-ответ" это долгонько будет.

[boriska]

provincialka в сообщении #855295 писал(а):

boriska, вам бы надо литературу почитать по теории чисел. Популярную, для школьников. Про сравнения по модулю, например. В формате "вопрос-ответ" это долгонько будет.

Почитал уже про сравнения по модулю и понимаю -- как это делается, но все равно пока что связь не могу понять(

[nnosipov]

Натуральное число сравнимо по модулю 9 с суммой своих цифр. Вот и вся связь.

[boriska]

nnosipov в сообщении #855297 писал(а):

Натуральное число сравнимо по модулю 9 с суммой своих цифр. Вот и вся связь.

Это я понимаю. Но как же это связано с тем, что искомые числа будут остатками от деления на 9?

-- 26.04.2014, 15:28 --

nnosipov в сообщении #855297 писал(а):

Натуральное число сравнимо по модулю 9 с суммой своих цифр. Вот и вся связь.

Это я понимаю. Но как же это связано с тем, что искомые числа будут остатками от деления на 9?

[provincialka]

Что-то у меня ум слегка зашел за разум. Вот есть число, пусть 784. Сумма его цифр - 19. Сумма цифр этого числа - 10. Еще раз - 1. Когда мы прекращаем суммирование? Что общего у всех полученных чисел? (в смысле деления на 9).