Различие между принципами Ферма и геодезических

[piksel]

Рассмотрим метрику Гёделя

$ds^{2}=dt^{2}-dr^{2}-dz^{2}+2e^{\sqrt{2}\omega r}dtdy +\frac{1}{2}e^{2\sqrt{2}\omega r}dy^{2},$ (1)

где $\omega$ постоянная.
В статьях
http://pubs.sciepub.com/ijp/1/1/1/index.html ,
http://article.sapub.org/10.5923.j.ijtm ... 02.03.html
показано, что принцип Ферма для стационарных метрик тождественен принципу экстремального интеграла энергии светоподобной частицы при ее свободном движении. Лагранжиан в этом вариационном методе берется в виде
$L=\left(g_{11}\frac{dx^{1}}{d\mu}\right)^{-1}\left\lbrace g_{1k}\frac{dx^{k}}{d\mu}\pm\left[(g_{1k}g_{1q}- g_{11}g_{kq})\frac{dx^{k}}{d\mu}\frac{dx^{q}}{d\mu}\right]^{1/2}\right\rbrace.$
Обобщенные импульсы имеют следующий вид
$p_{\lambda}=\frac{\partial L}{\partial v^{\lambda}}=\frac{v_{\lambda}}{v^{1}v_{1}},$
см. также http://ummaspl.narod.ru/variat.doc .
В результате для пространства Гёделя получаем постоянные движения
$p_1=\frac{1}{v^{1}},$
$p_3=\frac{e^{\sqrt{2}\omega r}v^{1}+\frac{1}{2}e^{2\sqrt{2}\omega r}v^{3}}{v^{1}\left(v^{1}+e^{\sqrt{2}\omega r}v^{3}\right)}, $
$p_4=-\frac{v^{4}}{v^{1}\left(v^{1}+e^{\sqrt{2}\omega r}v^{3}\right)}. $
Отсюда с учетом условия для вектора 4-скорости, следующего из (1), получаем
$\frac{dt}{d\mu}=\frac{1}{p_{1}},$
$\frac{dr}{d\mu}=\pm\frac{\left[4p_{1}p_{3}e^{\sqrt{2}\omega r}-(p_1^{2}+p_{4}^2)e^{2\sqrt{2}\omega r}-2p_{3}^2\right]^{1/2}}{p_{1}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2p_{3}\right)},$
$\frac{dy}{d\mu}=2\frac{p_{3}-p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}}{p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2p_{3}\right)},$
$\frac{dz}{d\mu}=\frac{p_{4}e^{\sqrt{2}\omega r}}{p_{1}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2p_{3}\right)}. $
Запишем скорости как производные пространственных координат по времени в координатной системе отсчета
$ \dot{r}=\pm\frac{\left[4p_{1}p_{3}e^{\sqrt{2}\omega r}-(p_1^{2}+p_{4}^2)e^{2\sqrt{2}\omega r}-2p_{3}^2\right]^{1/2}}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2p_{3}\right)},$ (2)
$ \dot{y}=2\frac{p_{3}-p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}}{e^{\sqrt{2}\omega r}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2p_{3}\right)},$ (3)
$ \dot{z}=\frac{p_{4}e^{\sqrt{2}\omega r}}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2p_{3}\right)}. $ (4)
В принципе геодезических лагранжиан для пространства Гёделя следующий
$L_g=(u^1)^2-(u^2)^{2}-(u^4)^{2}+2e^{\sqrt{2}\omega r}u^1u^3 +\frac{1}{2}e^{2\sqrt{2}\omega r}(u^3)^{2},$
где индексы вектора 4-скорости k,q=2,3,4 соответствуют пространственным координатам. Находя частные производные $L_g$ по компонентам 4-скорости, получаем обобщенные импульсы. Для координат t,y,z они будут постоянными движения $\tilde{p}^i $. Вместе с условием $L_g=0$ они дают 4 уравнения для определения 4-скоростей $u^i$, из которых находятся соответствующие принципу геодезических скорости

$ \dot{r}_g=\pm\frac{\left[20\tilde{p}_{1}\tilde{p}_{3}e^{\sqrt{2}\omega r}-(\tilde{p}_1^{2}+\tilde{p}_{4}^2)e^{2\sqrt{2}\omega r}-2\tilde{p}_{3}^2\right]^{1/2}}\left(\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2\tilde{p}_{3}\right)},$ (5)
$ \dot{y}_g=2\frac{\tilde{p}_{3}-\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}}{e^{\sqrt{2}\omega r}\left(\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2\tilde{p}_{3}\right)},$ (6)
$ \dot{z}_g=\frac{\tilde{p}_{4}e^{\sqrt{2}\omega r}}\left(\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2\tilde{p}_{3}\right)}. $ (7)

Скорости вдоль координат z и у, получаемые обоими методами, (3) и (6), (4) и (7) одинаковы, а скорости вдоль радиальной координаты (2) и (5) различны. Это служит решающим доказательством отличия принципа Ферма от принципа геодезических.

После того как в 1914 году Эйнштейн опубликовал общую теорию относительности, включив туда утверждение о том, что свет движется вдоль геодезических, в 19 году итальянские математики Палатини и Де-Зуани показали, что следует отличать статическое пространство-время от стационарного с неравными нулю коэффициентами $g_{1k}$. Я не читал этих работ, но как следует из книги Паули, Теория относительности, 1921, в них предположительно содержались результаты, из которых можно сделать вывод о различии принципов геодезических и Ферма. В дальнейшем,Эйнштейн не распространял принцип геодезических на движение световых лучей. Эти результаты старались не замечать сторонники полной и всеобщей ковариантности. И в книге Паули, переизданной в 1956 году упоминание об этих работах отсутствует. Однако без особого привлечения внимания изучение принципа Ферма в криволинейном пространстве продолжалось. Румер в книге Исследования по 5-оптике писал, что принцип Ферма справедлив для стационарных пространств. Однако в общем случае применение принципа Гамильтона, излагаемое в его книге, сомнительно, поскольку он берет в качестве функции Гамильтона первую компоненту вектора скорости. Аналогичную ошибку допускает и Фок. В ЛЛ2 приведены принципы и геодезических, и Ферма, но не дается их сравнения. Наиболее подробно результаты по исследованию принципа Ферма, в том числе, и для пространства Керра приведены в V. Perlik, Gravitational Lensing from a Spacetime Perspective, Living Rev. Relativity 7, 9(2004).
Хотя в формулировке принципа экстремального интеграла энергии светоподобной частицы не требуется стационарность метрики, получаемые уравнения движения светоподобной частицы в пустом пространстве не всегда имеют решения. Вполне возможно, что существование таких решений ограничивается случаями, когда имеются решения для принципа Ферма, то есть, для комфорно-стационарных метрик.
Еще до создания теории относительности Гильберт сформулировал одну из своих проблем как в каких метриках прямые являются геодезическими. Однако эта формулировка была признана слишком расплывчатой. В рамках ОТО ее можно было бы переформулировать: в каких пространствах свет движется по геодезическим.

[piksel]

Показано, что плоские электромагнитные волны перемещаются по нулевым геодезическим в невращающемся сферически-симметричном пространстве-времени. Но в других случаях это выполняется не всегда: http://arxiv.org/abs/1608.06572,
и еще о движении светового луча topic75064.html .

[Munin]

За счёт чего отклонение?

[piksel]

Перлик рассматривает причину отклонения как действие силы на световой луч, аналогичной силе Лоренца в электродинамике http://relativity.livingreviews.org/ope ... esu15.html . То есть, движение по геодезической не будет давать экстремальное расстояние для свободно движущейся в таком пространстве-времени световой частицы.

[Munin]

Ой, это уже плохо попахивает.

Вот если бы речь шла о том, что поляризация света взаимодействует с "вращающимся" п.-в., я бы сразу поверил.

[piksel]

Как выяснилось, при нахождении геодезических была допущена ошибка. Вместо

piksel в сообщении #853869 писал(а):

$ \dot{r}_g=\pm\frac{\left[20\tilde{p}_{1}\tilde{p}_{3}e^{\sqrt{2}\omega r}-(\tilde{p}_1^{2}+\tilde{p}_{4}^2)e^{2\sqrt{2}\omega r}-2\tilde{p}_{3}^2\right]^{1/2}}\left(\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2\tilde{p}_{3}\right)},$ (5)

должно быть
$ \dot{r}_g=\pm\frac{\left[\tilde{p}_{1}\tilde{p}_{3}e^{\sqrt{2}\omega r}-(\tilde{p}_1^{2}+\tilde{p}_{4}^2)e^{2\sqrt{2}\omega r}-2\tilde{p}_{3}^2\right]^{1/2}}\left(\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2\tilde{p}_{3}\right)}.$
В результате кривые, полученные двумя методами, совпадают. При этом совпадают обобщенные импульсы $p_i$ и $\tilde{p}_i=u_{ig}.$
В общем случае В. П. Фролов предложил обобщенный принцип Ферма http://arxiv.org/abs/1307.3291 . Он применил принцип минимума Понтрягина из теории оптимального контроля и получил эффективный Гамильтониан светоподобной частицы. Однако в нестационарном случае его метод предполагает варьирование времени по самому себе. Получены динамические уравнения
$Q=u^1$
${d \over d\mu}\left({\partial {Q}\over \partial\dot{x}^q}\right)- {\partial {Q}\over \partial{x}^q} -{\partial {Q}\over \partial {x}^1}{\partial {Q}\over \partial\dot{x}^q}=0\ .$ (8)
Показано, что они эквивалентны уравнениям изотропной геодезической.
Сравнивая обобщенный принципы Ферма и экстремального интеграла энергии светоподобной частицы, заметим, что выполняется $L=Q/u^1.$ После подстановки $L$ в уравнения Эйлера-Лагранжа
$\frac{d}{d\mu } \frac{\partial L }{\partial u^{i } } -\frac{\partial L}{\partial x^{i } } =0{\kern 1pt}$
получим
$ \frac{1}{u^{1} } \frac{d}{d\mu } \left(\frac{\partial Q}{\partial u^{q} } \right)-\frac{1}{\left(u^{1} \right)^{2} } \frac{\partial Q}{\partial u^{q} } \frac{du^{1} }{d\mu } -\frac{1}{u^{1} } \frac{\partial Q}{\partial x^{q} } {\kern 1pt} =0. $ (9)
Уравнения Эйлера-Лагранжа для временной координаты приводятся к виду
$\frac{du^{1} }{d\mu } +\frac{u^{1} }{2u_{1} } \frac{\partial g_{ij} }{\partial x^{1} } u^{i} u^{j} =0{\kern 1pt} .$
Сравнивая это выражение с
$\frac{\partial L }{\partial x^{1} } =-\frac{1}{2u_{1} u^{1} } \frac{\partial g_{ij} }{\partial x^{1 } } u^{i} u^{j} {\kern 1pt} ,}$
запишем
$\frac{du^{1} }{d\mu } =\left(u^{1} \right)^{2} \frac{\partial (Q/u^{1} )}{\partial x^{1} } =u^{1} \frac{\partial Q}{\partial x^{1} } .$
Подстановка этого выражения в уравнение (9) и умножение его на $u^1$ приносит уравнение (8). Это доказывает тождественность обобщенного принципов Ферма и экстремального интеграла энергии светоподобной частицы. Второй однако не требует варьирования времени по самому себе и соответствует вариационным принципам механики. Эквивалентность решений, даваемых первым принципом, геодезическим, означает, что использование второго также приносит геодезические. То есть, распространение света по изотропным геодезическим согласуется с классической механикой.