В статье В. П. Фролова "Обобщенный принцип Ферма и действие для световых лучей в криволинейном пространстве-времени"
http://arxiv.org/abs/1307.3291 автор доказавает, что уравнения, получаемые с помощью обобщеного принципа Ферма, тождественны уравнениям изотропных геодезических. Из статьи
http://pubs.sciepub.com/ijp/1/1/1/# следует, что принцип Ферма для стационарных метрик тождественен принципу стационарного интеграла энергии светоподобной частицы, предложенному Беляевым. Решение, соответствующее принципу Ферма для метрики Геделя найденное в
http://article.sapub.org/10.5923.j.ijtmp.20120202.03.html, отличается от решения уравнений геодезических для этой же метрики, см.
http://ummaspl.narod.ru/EnGeGodel.doc.
Поэтому я полагаю, что вывод о тождественности принципа Ферма и геодезических в общем случае не верен.
При рассмотрении принципа Ферма (
http://arxiv.org/abs/1307.3291) метрика приводится к виду

(11)
где i,j=1...n. В приложении правильно указаны ее метрические коэффициенты

В части V рассматривается соответствие полученных уравнений изотропным геодезическим,
при получении уравнений геодезических используются ковариантные производные

соответствующие пространству

, ортогональному по времени. Переход к ним от ковариантных производных

в пространстве

осуществляется в уравнениях (39)-(40).
Рассмотрим случай с независящими от времени метрическими коэффициентами. Ввиду соотношения между символами Кристоффеля для неортогонального и ортогонального по времени пространств, следующего из (А13):

левая часть уравнения (39) станет
![$\gamma_{ij}\frac{Dl^{j}}{d\lambda}=\gamma_{ij}[\frac{D^{2}x^{j}}{d\lambda^{2}}+(g_{p}A^{j}_{q}+g_{q}A^{j}_{p})\dot{x}^{p}\dot{x}^{q}].$ $\gamma_{ij}\frac{Dl^{j}}{d\lambda}=\gamma_{ij}[\frac{D^{2}x^{j}}{d\lambda^{2}}+(g_{p}A^{j}_{q}+g_{q}A^{j}_{p})\dot{x}^{p}\dot{x}^{q}].$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/f/b7f9f7cba47c5d1f1e34879b693bba0882.png)
В статье из уравнения (40) следует

что, очевидно, не совпадает с добавочным членом из предыдущей формулы. Поэтому тождественность
принципа Ферма и геодезических отсюда не следует.