О статье "Обобщенный принцип Ферма и действие для световых л

[piksel]

В статье В. П. Фролова "Обобщенный принцип Ферма и действие для световых лучей в криволинейном пространстве-времени" http://arxiv.org/abs/1307.3291 автор доказавает, что уравнения, получаемые с помощью обобщеного принципа Ферма, тождественны уравнениям изотропных геодезических. Из статьи http://pubs.sciepub.com/ijp/1/1/1/# следует, что принцип Ферма для стационарных метрик тождественен принципу стационарного интеграла энергии светоподобной частицы, предложенному Беляевым. Решение, соответствующее принципу Ферма для метрики Геделя найденное в http://article.sapub.org/10.5923.j.ijtmp.20120202.03.html, отличается от решения уравнений геодезических для этой же метрики, см. http://ummaspl.narod.ru/EnGeGodel.doc.
Поэтому я полагаю, что вывод о тождественности принципа Ферма и геодезических в общем случае не верен.
При рассмотрении принципа Ферма (http://arxiv.org/abs/1307.3291) метрика приводится к виду
$dS^{2}=-(d\tau-g_idx^i)^2+\gamma_{ij}dx^idx^j,$ (11)
где i,j=1...n. В приложении правильно указаны ее метрические коэффициенты
$g_{00}=-1, g_{0i}=g_{i}, g_{ij}=\gamma_{ij}-g_{i}g_{j}.$
В части V рассматривается соответствие полученных уравнений изотропным геодезическим,
при получении уравнений геодезических используются ковариантные производные $\frac{D^{2}x^{j}}{d\lambda^{2}},$ соответствующие пространству $\gamma_{ij}$, ортогональному по времени. Переход к ним от ковариантных производных $\frac{Dl^{j}}{d\lambda}$ в пространстве $g_{ij}$ осуществляется в уравнениях (39)-(40).
Рассмотрим случай с независящими от времени метрическими коэффициентами. Ввиду соотношения между символами Кристоффеля для неортогонального и ортогонального по времени пространств, следующего из (А13):
$\Gamma ^{j}_{pq}=\mathcal{\Gamma}^{j}_{pq}+g_{p}A^{j}_{q}+g_{q}A^{j}_{p}.$
левая часть уравнения (39) станет
$\gamma_{ij}\frac{Dl^{j}}{d\lambda}=\gamma_{ij}[\frac{D^{2}x^{j}}{d\lambda^{2}}+(g_{p}A^{j}_{q}+g_{q}A^{j}_{p})\dot{x}^{p}\dot{x}^{q}].$
В статье из уравнения (40) следует
$\gamma_{ij}\frac{Dl^{j}}{d\lambda}-\gamma_{ij}\frac{D^{2}x^{j}}{d\lambda^{2}}=\widetilde{B}^{(1)}_{i}U=2A_{ij}\dot{x}^{j}(\gamma_{pq}\dot{x}^{p}\dot{x}^{q})^{1/2},$
что, очевидно, не совпадает с добавочным членом из предыдущей формулы. Поэтому тождественность
принципа Ферма и геодезических отсюда не следует.

[piksel]

Уточню замечания. Для стационарного случая связь между ковариантными производными n+1-го и n-го порядка ввиду (А13) есть
$\frac{Dl^{j}}{d\lambda}=\frac{D^{2}x^{j}}{d\lambda^{2}}+(g_{p}A^{j}_{q}+ g_{q}A^{j}_{p})\dot{x}^{p}\dot{x}^{q}+2\Gamma^{j}_{p0}\dot{x}^{p}\dot{x}^{0} +\Gamma^{j}_{00}(\dot{x}^{0})^2.$
Из (А11) получаем
$\Gamma^{j}_{p {0}}=\gamma^{jk}A_{kp}=A^{j}_{p}-g^{j {0}}A_{{0} p}=A^{j}_{p}$
при $g_0=g_{00}$. Уравнение (А9) приносит $\Gamma^{j}_{00}=0$.

Подставляя $\frac{Dl^{j}}{d\lambda}$ и (13) в (39), находим $\gamma_{ij}\frac{D^{2}x^{j}}{d\lambda^{2}}+4g_{p}A_{ij}\dot{x}^{p}\dot{x}^{j} +2A_{ij}\dot{x}^{j}U=F_{i}.$
Это уравнение отличается от (40) 2м членом в правой части. Получаемое из принципа Ферма аналогичное уравнение (50) после подстановки (51) будет $\gamma_{ij}\frac{D^{2}x^{j}}{d\lambda^{2}}-\frac{1}{2}g_{i}\gamma_{jk}\dot{x}^{j}\dot{x}^{k} +2A_{ij}\dot{x}^{j}U=F_{i},$ не совпадая ни с одним из первых 2х.

Возможно, подход, предложенный Валерием Павловичем, позволит определить действительную разницу между принципами Ферма и геодезических.
Я пытался получить уравнения (50) из уравнений принципа Ферма, но не получилось.

(Оффтоп)

VladTK отмечал, что метод, являющийся обобщением принципа Ферма, вряд ли будет принят ввиду его нековариантности. Но это неприятие приводит к ошибкам.

[Утундрий]

Если я правильно продрался через (неимоверно творческие!) обозначения, то передо мною монадный формалiзмъ?

[piksel]

Да, это имеет отношение к монадному формализму, хотя явно на него не ссылаются.