Знакомство с умножением матриц

[ewert]

Munin в сообщении #854256 писал(а):

Ну, с определением функции-то они хотя бы сталкивались?

Не имеет значения.

Для них это будет понятие если и функции, то -- новое. Какое-то время им понадобится для того, чтобы к этой новости привыкнуть. Ну, пусть час, пусть полчаса; этого времени им вполне хватит для того, чтобы полностью отрубиться от понимания -- о чём, собственно, вообще речь в этих матричных операциях.

Супротив физиологии не попрёшь.

[Munin]

ewert в сообщении #854268 писал(а):

Для них это будет понятие если и функции, то -- новое.

Я про это и спрашивал.

Не знаю, я как-то с общим определением функции познакомился примерно в 9-10 классе, если не раньше (на нынешние деньги), и проблем с ним никаких не испытывал... И то, если бы я его не знал, я бы не понимал, как в физике можно брать производную от скорости по времени, и тому подобные штучки.

ewert в сообщении #854268 писал(а):

Какое-то время им понадобится для того, чтобы к этой новости привыкнуть. Ну, пусть час, пусть полчаса; этого времени им вполне хватит для того, чтобы полностью отрубиться от понимания -- о чём, собственно, вообще речь в этих матричных операциях.

Ясно, с каких позиций вы рассуждаете.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #854284 писал(а):

я бы не понимал, как в физике можно брать производную от скорости по времени,

это всё-таки качественно довольно разные вещи -- функция от одной переменной (пусть даже и векторная) и функция от векторного аргумента. Если первое интуитивно более-менее очевидно, то второе требует привыкания; а в школе к этому не приучают.

В стандартной.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #854298 писал(а):

это всё-таки качественно довольно разные вещи -- функция от одной переменной (пусть даже и векторная) и функция от векторного аргумента.

На уровне знания определения - нет. Достаточно знать, что функции бывают не только из $\mathbb{R}$ и в $\mathbb{R},$ а уж варианты сразу легко придумываются. Да, если возиться конкретно с $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},$ это вещи существенно разные (не говоря о т. п.), но уж понять, что это всё-таки функция, и ассоциативность для неё очевидна, нетрудно.

ewert в сообщении #854298 писал(а):

а в школе к этому не приучают.

На что спорим, в школе есть функция $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$? Потенциальная энергия :-)

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #854332 писал(а):

а уж варианты сразу легко придумываются.

Вы не поняли. Придумать-то всё легко. Только вот придумать мало, надо ещё и привыкнуть к этой придумке. А когда тут тебе мозги давят какими-то загадочными суммами -- и параллельно нужно на бегу ещё и настраиваться на обобщение понятия функции -- и всё это в режиме реального времени -- тут у кого хошь крыша поедет. Кроме продвинутых, естественно.

[Munin]

(Оффтоп)

Вот про это я и спрашивал, зануда вы этакий. Надо ли перестраиваться, или понятие функции в обобщённом виде и так известно.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #854380 писал(а):

Надо ли перестраиваться, или понятие функции в обобщённом виде и так известно.

Надо, надо. Оно лишь абстрактно известно, а для большинства абстракция -- это не более чем абстракция.

-- Пт апр 25, 2014 16:21:24 --

Каюсь за оффтопик: все последние несколько сообщений и с обеих сторон -- вполне в топике. Но -- привычка, уж пардоньте.

[robot80]

Здравствуйте
Добавлю свои пять копеек про умножение матриц. У моих студентов обычно не возникает проблем с запоминанием, что надо складывать произведения элементов строки и столбца. Вопрос возникает, ПОЧЕМУ ИМЕННО ТАК это надо делать, а не как-нибудь по-другому.
Обычно я объясняю это с точки зрения магазина. Есть допустим два товара: товар $A$ по цене $a$ рублей за единицу, есть товар $B$ по цене $b$ рублей за единицу. Купили первого товара $c$, а второго - $d$ единиц. Тогда общая стоимость будет равна $ac + bd $, то есть произведение вектора цены на вектор количества. Ну а к матрицам переходим добавляя количество покупателей и количество продавцов.

[Munin]

Ну, это, наверное, идея скалярного произведения векторов, а не идея произведения матриц.

[provincialka]

Ну, так произведение матриц - это много-много скалярных произведений. Строк первой на столбцы второй.

[Nemiroff]

А подскажите, что отвечать на вопрос "почему матрицы не перемножаются поэлементно? складываются-то они поэлементно, умножать тоже будет удобно"
Я обхожусь чем-то вроде "не-не, погодите, ща будет нормуль, ща увидите, как всё круто при таком перемножении, удобненько и прочее" На самом деле не "ща" получается, ну да ладно.
Какие-то хорошие быстрые ответы есть?

[nnosipov]

Nemiroff в сообщении #856670 писал(а):

Какие-то хорошие быстрые ответы есть?

На самом деле поэлементное умножение матриц тоже встречается, но обычное, конечно, чаще. Обычное умножение можно мотивировать тем, что оно естественным образом появляется при линейном выражении одной системы векторов через другу, а той --- через третью.

[g______d]

Есть быстрый ответ "да, перемножаются". Даже название есть — произведение по Адамару.

А вообще довольно сложно вводить умножение матриц раньше соответствия матрица–линейное преобразование. И наоборот, после этого соответствия есть разные способы не запутаться: например, сказать, что столбцы произведения получаются действием первой матрицы на столбцы второй матрицы.

[provincialka]

Можно просто показать матричную запись линейной системы. Коэффициенты образуют матрицу? Образуют. Правые части образуют столбец? Образуют. Неизвестные что образуют? - либо строку, либо столбец. Давайте, по аналогии с правыми частями считать, что все-таки столбец. Тогда что же стоит в левой части? Некоторая конструкция из матрицы и столбца.

Причем в одномерном случае система сводится к виду $ax=b$. Вот давайте считать, что и в общем случае система имеет вид $Ax = b$, тогда конструкцию в левой части естественно назвать умножением.

[worm2]

Ещё можно сказать что-то вроде "Дамы и господа, полноте, ведь это же так скучно! Не ради того математики придумали матрицы, чтобы в них числа складывались и умножались отдельно друг от друга. Нет, нет и ещё раз нет-с! Матрица — коллектив, а в коллективе члены не могут быть свободными друг от друга.".