Задача условной оптимизации. Метод Лагранжа.

[Katmandu]

Решить задачу условной оптимизации

$$ f(x)=x_1x_2x_3 \rightarrow extr_X $$

$$ X = \lbrace x | x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = 8, x_1 + x_2 + x_3 = 5 \rbrace $$

Я пробовал решить методом Лагранжа.
Составил функцию Лагранжа

$$ L = x_1x_2x_3 + \lambda_1( x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 - 8 ) + \lambda_2 ( x_1 + x_2 + x_3 - 5 ) $$

Далее нашел частные производные и составил систему

$$ \begin{cases} \frac {\partial L} { \partial x_1} = x_2x_3 + \lambda_1(x_2 + x_3) + \lambda_2 = 0 ,&\text{}\\ \frac {\partial L} { \partial x_2} = x_1x_3 + \lambda_1(x_1 + x_3) + \lambda_2 = 0 ,&\text{}\\ \frac {\partial L} { \partial x_3} = x_1x_2 + \lambda_1(x_1 + x_2) + \lambda_2 = 0 ,&\text{}\\ \frac {\partial L} { \partial \lambda_1} = x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 - 8 = 0 ,&\text{}\\ \frac {\partial L} { \partial \lambda_1} = x_1 + x_2 + x_3 - 5 = 0 ,&\text{}\\ \end{cases} $$

Далее пробовал искать $ \lambda_1 , \lambda_2 $

$$ \frac {\partial L} { \partial x_1} + \frac {\partial L} { \partial x_2} + \frac {\partial L} { \partial x_3} = x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 + 2\lambda_1(x_1 + x_2 + x_3) + 3\lambda_2 = 8 + 10\lambda_1 +3\lambda_2 = 0$$

$$ x_2x_3 + \lambda_1(x_2 + x_3) = x_1x_3 + \lambda_1(x_1 + x_3) , \lambda_1 = -x_3$$

$$ x_2x_3 + \lambda_1(x_2 + x_3) = x_1x_2 + \lambda_1(x_1 + x_2) , \lambda_1 = -x_2$$

$$ x_1x_3 + \lambda_1(x_1 + x_3) = x_1x_2 + \lambda_1(x_1 + x_2) , \lambda_1 = -x_1$$

Далее, кажется что $ x_1 = x_2 = x_3 $ , но это не будет выполняться если рассматривать последние два уравнения в системе.

Также заметил, что если $ x_1 = x_2 = 2, x_3 = 1 $ то выполняются два последних уравнения.
Совсем не понятно, что делать дальше...

[provincialka]

Попробуйте рассмотреть первые три уравнения системы как линейную однородную систему относительно переменных $(1,\lambda_1,\lambda_2)$. Не все эти "переменные" равны нулю, поэтому определитель этой системы равен 0. Он легко считается (можно сразу разложить на множители). Получаются три (аналогичных) случая.

[Katmandu]

Но так я найду лямбы, которые будут зависеть от иксов. Например я рассмотрел первые два уравнения и решил систему относительно лямбд.
Получилось $ \lambda_1 = - x_3, \lambda_2 = -x_3(x_2 + x_3) $.
Ясно, что если рассмотреть еще две системы , я найду еще лямбды, но что с ними дальше делать?

[provincialka]

Откуда лямбды? Ведь они рассматриваются как неизвестные, а иксы - как коэффициенты. Определитель системы считается по коэффициентам. Получается уравнение на иксы, имеющее 3 решения.

-- 23.04.2014, 22:17 --

Определитель системы будет такой:

$$ \begin{vmatrix} x_2x_3 & (x_2 + x_3) & 1\\ x_1x_3 & (x_1 + x_3) & 1\\ x_1x_2 &(x_1 + x_2) &1\\ \end{vmatrix} $$

[Katmandu]

Первые три уравнения в системе требуют, чтобы все иксы были одинаковыми. Мне так кажется.
Но последние два уравнения системы это исключают.

Для последних 2-x уравнений можно подобрать корни. Например $x_1 = 1, x_2 = x_3 = 2$
Как выясняется в вольфраме выдаются еще два аналогичных результата., то есть эти корни единственны для двух последний уравнений системы.

Далее подставляем эти иксы в первые 3 уравнения.
получается
$ 4 + 4\lambda_1 + \lambda_2 = 0 $
$ 2 + 3\lambda_1 + \lambda_2 = 0 $
$ 2 + 3\lambda_1 + \lambda_2 = 0 $

откуда находим $ \lambda_1 = -2, \lambda_2 = 4 $

[provincialka]

Katmandu в сообщении #853534 писал(а):

Первые три уравнения в системе требуют, чтобы все иксы были одинаковыми.

Не требуют и не будут одинаковыми. Вы читаете мои советы или нет? Там, с точностью до перестановки будут 2 решения, и ни одно из них не имеет вида $(a; a; a)$.
Одно вы нашли подбором (догадались), второе вряд ли можно так найти.

[Katmandu]

provincialka в сообщении #853533 писал(а):

Откуда лямбды? Ведь они рассматриваются как неизвестные, а иксы - как коэффициенты. Определитель системы считается по коэффициентам. Получается уравнение на иксы, имеющее 3 решения.

-- 23.04.2014, 22:17 --

Определитель системы будет такой:

$$ \begin{vmatrix} x_2x_3 & (x_2 + x_3) & 1\\ x_1x_3 & (x_1 + x_3) & 1\\ x_1x_2 &(x_1 + x_2) &1\\ \end{vmatrix} $$

Раскрыл определитель.. он благополучно обратился в нуль, что с этим дальше делать.

[provincialka]

То есть как обратился в 0? при каких значениях иксов? Совсем не ноль!

[Katmandu]

provincialka в сообщении #853542 писал(а):

То есть как обратился в 0? при каких значениях иксов? Совсем не ноль!

Извиняюсь...
на самом деле получилось следующее

$ x_1x_1x_3 - x_1x_1x_2 - x_2x_2x_3 + x_1x_2x_2 + x_2x_3x_3 - x_1x_3x_3 $

[provincialka]

Не надо так, это не удобно для исследования. Вычисляйте определитель вычитанием строк. Тогда по ходу можно будет выносить общие множители из строк и определитель сразу разложится на линейные множители.

В конце концов, вместо использования определителя можно просто исключать из первых уравнений лямбды.

[Katmandu]

provincialka в сообщении #853552 писал(а):

Не надо так, это не удобно для исследования. Вычисляйте определитель вычитанием строк. Тогда по ходу можно будет выносить общие множители из строк и определитель сразу разложится на линейные множители.

В конце концов, вместо использования определителя можно просто исключать из первых уравнений лямбды.

Как вычислять вычитанием строк? По гауссу?

[provincialka]

Ну, вроде того. Это называется "элементарные преобразования матрицы". Вычитайте первую строку из других, у вас обнулятся последние элементы.

-- 23.04.2014, 22:55 --

И не цитируйте всё высказывание целиком: выделите нужную часть и используйте кнопку "Вставка".

[Katmandu]

Да, в итоге получился определитель равен $ (x_3 - x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_2) $

[provincialka]

У меня так же. Жду продолжения

[Katmandu]

Рассмотрим $ (x_3 - x_2) = 0 $ , здесь получается, что $x_3 = x_2$

Подставим в 4 и 5 уравнения в системе.
Получим

$ 2x_1x_2 + x_2^2 = 8 $
$ 2x_2 + x_1 = 5 $

$x_1 = 5 - 2x_2$
$ 3x_2^2 - 10x_2 + 8 = 0 $

Откуда следует , что
$ x_2 = 2, x_3 = x_2 = 2, x_1 = 5 - 2x_2 = 1 $
$ x_2 = \frac 4 3, x_3 = \frac 4 3, x_1 = 5 - 2x_2 = \frac 7 3$


для первого случая $ (1,2,2) : \lambda_1 = -2, \lambda_2 = 4 $
для $ (\frac 7 3, \frac 4 3, \frac 4 3) : \lambda_1 =-\frac 4 3 , \lambda_2 = \frac {48} {27} $

Как-то так пока что.