Учет электромагнитного поля в ОТО

[evgeniy]

Как думается автору проблема учета электромагнитного поля в ОТО содержит противоречия. Согласно формуле Райснера-Нордстрема метрика с учетом электромагнитного поля имеет вид
$d s^2 = -\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} + \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}} \right) c^{2} dt^{2} + \frac{dr^{2}}{\displaystyle{1 - \frac{r_{s}}{r} + \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}}}} + r^{2}( d\theta^{2} + \sin^{2} \theta \, d\varphi^{2}),$
Но в случае малой поправки к метрическому тензору пространства Минковского, т.е. если метрический тензор имеет вид $g_{lk}=g_{lk}^0+h_{lk},g_{lk}^0=(-1,1,1,1,),|h_{lk}|<<1$ величина поправки $h_{lk}$ удовлетворяет волновому уравнению ЛЛ.т.II параграф 107. Но величина поправки на достаточно большом расстоянии равна
$\frac{r_{s}}{r} - \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}}$ и не удовлетворяет волновому уравнению. Значит данная поправка не является решением уравнения ОТО.

[Munin]

Как насчёт почитать учебники?

[Nirowulf]

В стационарном случае, который мы здесь, имеем будет даже не волновое уравнение, а уравнение Лапласа. В случае гравитационных волн поправка должна удовлетворять этому уравнению только в пустоте. При наличие же э/м поля, которое входит в тензор энергии-импульса, получим в ненулевую правую часть в уравнениях Эйнштейна.

С точностью же до членов первого порядка по $\frac{1}{r}$, поправка имеет вид $\frac{r_s}{r}$ и удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta=4\pi G\mu$, т.к. у нас есть ненулевая компонента тензора-энергии импульса материи $T_{00}=\mu c^2$, где $\mu-$ плотность массы.

[evgeniy]

Nirowulf в сообщении #853376 писал(а):

В стационарном случае, который мы здесь, имеем будет даже не волновое уравнение, а уравнение Лапласа. Но поправка должна удовлетворять этому уравнению только в пустоте. При наличие же э/м поля, которое входит в тензор энергии-импульса, получим в ненулевую правую часть в уравнениях Эйнштейна.

Кажется я напутал. Где можно почитать вывод метрики Райснера-Нордстрема в интернете. Тензор энергии импульса электромагнитного поля я не учел.

[Nirowulf]

evgeniy в сообщении #853388 писал(а):

Где можно почитать вывод метрики Райснера-Нордстрема в интернете.

Могу посоветовать только книгу Чандрасекара: "Математическая теория чёрных дыр", Том 1. Глава 5 посвящена решению Райсснера-Нордстрема.

[Munin]

Для начала стоит взять ЛЛ-2 или другой учебник по ОТО, и прочитать вообще:
1. ОТО.
2. Электродинамику в ОТО.
3. Приближения в ОТО.

Потом можно взять, например, Хокинга-Эллиса, и прочитать там про Райсснера-Нордстрёма. Чандрасекар - на любителей копать глубоко. А тут надо букварь освоить.

[evgeniy]

Отправьте эту тему в пургаторий, но чтобы я мог использовать ссылку на литературу. Вопрос на который я хотел получить ответ, получен, и тема больше лично для меня не интересна.

[evgeniy]

Я нашел нечто содержательное в подобном описании электромагнитного поля. Когда учитывается влияние зарядов, или тензора энергии-импульса на гравитационное поле, то оно определяет поправку к метрическому тензору гравитационного поля $2\varphi/c^2=-2k m/rc^2+e^2/c^4r^2$. Первый член учитывает взаимодействие между массами гравитационного поля, а второй член между зарядами и массами. Т.е.второй член определяет силу взаимодействия между зарядами и массой. Эта сила равна $F=mke^2/(2c^2r^3)\vec r$. Совершенно аналогично имеется влияние гравитационного поля на электромагнитное поле и значит на действие на заряды массами, что описывается при выводе уравнений Максвелла с учетом гравитационного поля. Сначала я думал, что формула этого взаимодействия $\vec F=\frac{(ie_1+m_1\sqrt{k})(ie_2+m_2\sqrt{k})}{r^3}\vec r$, где введены мнимые заряды, чтобы единым образом описывать притяжение масс, и отталкивание одинаковых зарядов. Но кажется сила взаимодействия масс и зарядов другая.

[Munin]

Нету в этом ничего содержательного.

Если вы будете продолжать выдумывать бред, не читая учебников, то только бред у вас и будет получаться.

[Nirowulf]

Продолжая тему, поднятую в первом сообщении.

Можно заметить, что $\Delta \frac{1}{r^2}=\frac{2}{r^4}$, поэтому и во втором порядке по $\frac{1}{r}$ поправка к $g_{00}$ удовлетворяет уравнению Лапласа, в правой части которого в компоненте $T_{00}$ тензора энергии-импульса добавится плотность энергии электрического поля, создаваемого зарядом $Q.$

Эта плотность равна $\frac{E^2}{8\pi}=\frac{Q^2}{8\pi r^4}\sim \frac{1}{r^4}$, так что уравнение Лапласа будет выполняться в обоих порядках.

[evgeniy]

Хотелось бы услышать более аргументированное заключение. Я привел аргументы, а вы нет. В чем не правильность такой точки зрения. Дело в том, что я прочел Хрипловича, Новосибирский университет, и ЛЛ.т.2. В Хрипловиче прямо говорится, что о влиянии зарядов на гравитационное поле. У ЛЛ.т.2 говорится о влиянии гравитационного поля на электрическое поле. Я просто продолжил их мысль. Желательно получить не ругань, а аргументированные возражения.
Nirowulf я тоже проделал эти выкладки и понял, что был не прав.

[Munin]

evgeniy в сообщении #853901 писал(а):

В Хрипловиче прямо говорится, что о влиянии зарядов на гравитационное поле. У ЛЛ.т.2 говорится о влиянии гравитационного поля на электрическое поле. Я просто продолжил их мысль.

Там, вообще-то, не "мысль" говорится, а формулы.

[Nirowulf]

evgeniy в сообщении #853726 писал(а):

Когда учитывается влияние зарядов, или тензора энергии-импульса на гравитационное поле, то оно определяет поправку к метрическому тензору гравитационного поля $2\varphi/c^2=-2k m/rc^2+e^2/c^4r^2$.

Строго говоря, это лишь в приближении слабых гравитационных полей, или на самом деле в приближении нерелятивистской механики. Ведь $\varphi$ у нас не с потолка падает, а из нерелятивисткого лагранжиана частицы в поле тяготения $L=\frac{mv^2}{2}-m\varphi.$ См. ЛЛ-2, параграфы 81 и 87.

Если по-честному, то надо решать уравнения Эйнштейна с соответствующим тензором энергии-импульса в правой части.

[evgeniy]

Чтобы не было недоразумений с использованием взаимодействия масс и зарядов я приведу вычисленную с помощью формул ЛЛ функцию Лагранжа, вычисленную в первом порядке малости.
Функция Лагранжа в гравитационном поле в первом приближении для одного тела, создаваемая другими телами записывается в виде
$ L_a=\frac{m_a V_a^2}{2}-m_a c^2 h_{00}/2$
Приведена формула из ЛЛ. т.2 (106.16). Где величина $ h_{00}$ с учетом электромагнитного поля запишется в виде $h_{00}=\frac{2km}{rc^2}-\frac{ke^2}{c^4r^2}$. Второй член в случае микро рассмотрения на малых радиусах сравним с первым членом. Не учтен член с взаимодействием Кулона, так как рассматривается только гравитационное поле. Подставляем значение метрического тензора в функцию Лагранжа, получаем
$ L_a=\frac{m_a V_a^2}{2}-m_a c^2 (\frac{km}{rc^2}-\frac{ke^2}{2c^4r^2})=\frac{m_a V_a^2}{2}-\frac{kmm_a}{r}+\frac{km_a e^2}{2c^2r^2}$
Последний член в функции Лагранжа указывает на взаимодействие зарядов и масс.
При учете взаимодействия Кулона, взаимодействие зарядов и масс мало, но принципиально существует. на малых расстояниях оно больше чем взаимодействие Кулона.

[Nirowulf]

evgeniy
В первом порядке малости по каким величинам?

Возможно я туплю, просто хочу понять, по какому принципу, вы отбросили остальные слагаемые в формуле $(106.16).$ К примеру, слагаемые: $\frac{-m_a}{2}h_{\alpha\beta}v^{\alpha}_av^{\beta}_b$ и $-m_a\frac{h_{00}}{4}v^2_a$ $?$