Лагранжиан

[Dr.RichardFeynman]

Здравствуйте, товарищи. Не знаю куда обратиться, хотелось бы разобраться в понятии лагранжиан. Википедия - гиблое место, там понятных слов меньше чем не понятных. Какие определения нужно знать, что бы понять, что такое лагранжиан.
Очень хочется понять метод диаграмм Фейнмана, но сразу же встретился с этим определением.
Спасибо

[svv]

Имхо, сначала следует разобраться, что такое лагранжиан, на классических (не квантовых и не релятивистских) примерах.

Физику, наверное, лучше сначала прочитать главу 19 в томе 6 написанных Вами знаменитых лекций по физике, под названием «Принцип наименьшего действия». Затем — формальные определения.

Математику — наоборот, начинать с формальных определений.

[Утундрий]

Dr.RichardFeynman в сообщении #849138 писал(а):

Какие определения нужно знать, что бы понять, что такое лагранжиан.

Функция, производная, функционал, интегрирование. Пожалуй, достаточно.

[Dr.RichardFeynman]

Всем спасибо.
(за работу)

[Munin]

После ФЛФ-6 гл. 19 - читать ЛЛ-1 с начала.

[Dr.Kurnyshev]

Статья опубликована:
http://maxpark.com/user/4294998463/cont ... 0619#share

ЛАГРАНЖИАН

Термин "Лагранжиан" в различных публикациях трактуется по-разному. Часто под лагранжианом понимают функцию Лагранжа и при этом вводят термин плотность лагранжиана, не определяя, что такое плотность лагранжиана. В энциклопедии физики и техники функцию Лагранжа определяют как трёхкратный интеграл от плотности функции Лагранжа по трёхмерному пространственному объёму; здесь плотность функции Лагранжа называют лагранжианом.
Понятия "лагранжиан", "плотность функции Лагранжа" являются составной частью лагранжева формализма и непосредственно связаны с принципом наименьшего действия. Кроме того, лагранжиан полностью определяет уравнения движения физических систем. Поэтому надо как-то определиться с этими терминами. Школьники на физических форумах задают вопрос: "Что такое лагранжиан?"
Возможен такой вариант.
ЛАГРАНЖИАН – в полевой формулировке это четырёхмерное непрерывное физически ненаблюдаемое скалярное поле, которое является функцией четырёх пространственно-временных координат и вводится в различные теории для удобства описания движения физических систем с точки зрения принципа наименьшего действия. Лагранжиан обладает тем свойством, что его трёхкратный интеграл по конечному пространственному объёму даёт функцию Лагранжа. В свою очередь, интеграл от функции Лагранжа на некотором временном интервале – это действие, которое на коротких интервалах времени всегда минимально для любой физической системы (для любых физических полей, частиц). Таким образом, три понятия – действие, функция Лагранжа и лагранжиан – связаны между собой интегральными соотношениями.
Лагранжиан называют ещё плотностью функции Лагранжа – т.е. это функция Лагранжа, отнесённая к единице пространственного объёма. Плотность функции Лагранжа обладает важнейшим свойством: она лоренц-инвариантна, также как, например, электрический заряд. Это значит, что плотность функции Лагранжа какого-либо физически наблюдаемого поля (например, статического электрического или статического магнитного), рассматриваемая в конечном пространственном объёме, не зависит от скорости движения этого пространственного объёма вместе с полем. При интегрировании плотности функции Лагранжа по трёхмерному пространственному объёму получаем лоренц-неинвариантную функцию Лагранжа. Но при интегрировании функции Лагранжа на конечном малом интервале времени снова получаем лоренц-инвариантную величину – действие. Следовательно, четырёхкратный интеграл по четырём пространственно-временным координатам связывает две лоренц-инвариантные величины: действие и плотность функции Лагранжа. При этом действие – это не поле, не скаляр, это лоренц-инвариантное число, а плотность функции Лагранжа – это четырёхмерное непрерывное физически ненаблюдаемое лоренц-инвариантное скалярное поле, которое является функцией четырёх пространственно-временных координат, т.е. является лагранжианом. Итак, плотность функции Лагранжа, согласно приведённой формуле, и лагранжиан – это синонимы.
Есть другие мнения?

[warlock66613]

Dr.Kurnyshev в сообщении #883768 писал(а):

ЛАГРАНЖИАН – в полевой формулировке это четырёхмерное непрерывное физически ненаблюдаемое скалярное поле, которое является функцией четырёх пространственно-временных координат

Совсем не попали. Лагранжиан не является полем и не является функцией пространственно-временных координат.

-- 04.07.2014, 02:53 --

Dr.Kurnyshev в сообщении #883768 писал(а):

Есть другие мнения?

Мнения здесь вообще не к месту. Что такое функция Лагранжа и её плотность хорошо известно любому, кто осилил курсы теоретической механики и электродинамики. Лагранжианом действительно называют иногда саму функцию, а иногда её плотность, но никаких затруднений это не вызывает, так как из контекста всегда ясно, что имеется в виду.

[Munin]

Есть несколько разные терминологии, различающиеся по интерпретации поля как механической системы.

Для механической системы с конечным числом $n$ степеней свободы, термины эквивалентны: $L(q,\dot{q},t)$ называется функцией Лагранжа, или лагранжианом. По-русски часто предпочитают "функция Лагранжа" (почему - станет ясно ниже), по-английски используют одно выражение Lagrangian (function), которое может переводиться буквально как "функция лагранжиана", "лагранжева функция". (То есть, Lagrangian - это и прилагательное, и субстантивируется как имя. Аналогично по-английски обстоит дело с гамильтонианом.)

Для поля $\varphi(x,y,z,t)$ возможны две интерпретации механического формализма.

I. Пространственные координаты - индексы степеней свободы. (По Ландау, Лифшиц "Теория поля".) Тогда функция Лагранжа является функционалом от поля при $t=\mathrm{const},$ и (это дополнительный постулат) может быть записана как $L[\varphi,\partial_t\varphi](t)=\int\mathcal{L}(\varphi,\partial_\mu\varphi,x^\mu)d^3V.$ Здесь подынтегральная функция, строго говоря, называется плотностью функции Лагранжа. Правда, это название длинное и занудное, и почти не употребляется.

II. Пространственные координаты - аналоги временно́й координаты. (Например, по Медведеву "Начала теоретической физики"). Тогда функция Лагранжа является просто функцией от поля в 4-точке, и его производных, то есть буквально $\mathcal{L}(\varphi,\partial_\mu\varphi,x^\mu),$ введённая в предыдущем абзаце, и есть функция Лагранжа, или лагранжиан. Именно в этом смысле в русском языке обычно употребляют слово "лагранжиан", и видно, что его не стоит путать с $L[\varphi,\partial_t\varphi](t)$ в смысле предыдущего абзаца, которую иногда называют "функцией Лагранжа" (впрочем, довольно редко, потому что само это понятие нужно довольно редко).

В обоих случаях, уравнения движения получаются одни и те же: $\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}-\dfrac{\partial}{\partial x^\mu}\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}=0.$ Остальные формулы также совпадают, то есть интерпретации отличаются только тем, что чем называть.

Из-за путаницы между этими двумя интерпретациями в русскоязычной литературе встречаются иногда пояснения, что "$\mathcal{L}$ - лагранжиан, или плотность функции Лагранжа" [Окунь, 1988]. Впрочем, это хорошее практическое правило, в том числе для чтения англоязычной литературы, не считая только некоторого сумбура в голове. Также иногда сбивают с толку, на первый взгляд несовместимые, утверждения типа "поле - система с бесконечным числом степеней свободы" (верное в I интерпретации) и "векторное поле имеет 4 степени свободы" (верное во II интерпретации).