Найти множество значений функции

[abiturient]

$y=3\cos(2x)+4\sin(2x)+4\sin(x)+8\cos(x)$
Стандартный способ через производные не особо интересен, задача находится в разделе для "быстрорешаемых" задач. Ответ: $y\in [-7;5+4\sqrt5]$

[mihailm]

Первые два слагаемых это пять, вторые очевидно - $4\sqrt{5}$

[abiturient]

Это то понятно. Про метод дополнительного угла я знаю. Как раскрутить дальше эту задачу?
Если "кровь из носу" решить, то, я пошёл бы в лоб через производные. Но, кажется, есть метод хитрее. Я к экзамену готовлюсь вступительному. Если понять метод, что "хитрее", то не надо будет решать через производные на экзамене. А задачи там аналогичные. На вступительных. Это 1-й вариант, просто.

[mihailm]

abiturient в сообщении #848466 писал(а):

Это то понятно. Про метод дополнительного угла я знаю...

Если понятно, зачем спрашиваете?

[abiturient]

Спрашиваю, потому что не вижу(поди, очевидного).
$y=5\sin(2x+\arcsin(\frac{2}{\sqrt5}))+4\sqrt5\sin(x+\arcsin(\frac{3}{5}))$
Как из этого получить ОЗФ?

[provincialka]

Если судить по ответу, то оба синуса достигают максимума (равного 1) в какой-то одной точке. Проверьте это.

С минимумом сложнее, он где-то в промежуточной точке достигается.

Кстати, производная тоже ничего особо хорошего не дает, уравнение решается далеко не очевидно.

[mihailm]

abiturient в сообщении #848469 писал(а):

Спрашиваю, потому что не вижу(поди, очевидного).
$y=5\sin(2x+\arcsin(\frac{2}{\sqrt5}))+4\sqrt5\sin(x+\arcsin(\frac{3}{5}))$
Как из этого получить ОЗФ?

Наверно надо проверить, что один арксинус равен другому арксинусу умноженному на 2?
Арксинусы кстати перепутаны

[provincialka]

mihailm в сообщении #848494 писал(а):

Наверно надо проверить, что один арксинус равен другому арксинусу умноженному на 2?

Это все равно не решит всю проблему, так как остается еще и минимум.
Я знаю один элементарный способ исследования, н не знаю, как до него догадаться школьнику.

Подсказка. Функцию можно представить как квадратичную от двух переменных $c=\cos x$ и $s=\sin x$ с дополнительным условием $s^2+c^2=1$. Тот, кто знает, что такое "каноническое уравнение кривой второго порядка" легко избавится от члена с произведением.

[abiturient]

Нет, если было так всё тривиально, я бы не спрашивал..

[mihailm]

Если минимум, то понятно здесь кв трехчлен (без кривых второго порядка)

[provincialka]

abiturient в сообщении #848501 писал(а):

Нет, если было так всё тривиально, я бы не спрашивал..

В смысле? Вы кому отвечаете?
Кстати, У вас ответ откуда - из книжки или сами придумали? У меня не так получается.

[mihailm]

Ответ верный, в мепле проверил

[abiturient]

provincialka в сообщении #848508 писал(а):

Кстати, У вас ответ откуда - из книжки или сами придумали? У меня не так получается.

Из книжки. Математика на вступительных испытаниях СПбГТУ.
С помощью provincialka , у меня так как надо получается) Спасибо.

-- 12.04.2014, 06:39 --

А теперь, вопрос. Как же это решить?

[provincialka]

Наверное в счете ошиблась. Самый простой способ решения, на мой взгляд, такой.
1. Привести к одному синусу два последних слагаемых. Обозначить аргумент одной буквой ($y$).
2. Сделать замену, перейти в выражении к $y$. Синус двойного угла пропадет. А косинус можно выразить через $\sin y$.

[abiturient]

Хорошо. А если забыть про то, что я школьник. Выразить тригонометрические ф-ции через экспоненту комплексной переменной. Будет способ по лучше?

-- 12.04.2014, 07:09 --

Мне кажется, только стандартные способы исследования ф-ции на периодиочность, период--2 пи, на максимумумы\минимумы, через производные. Я ничего тут не нашел. А надо.