Геометрия Лобачевского.

[Yorick]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Мне необходимо разобраться с геометрией Лобачевского.

1) Особенно интересует возможно ли и, если возможно, то как ввести координаты в n-мерное пространство Лобачевского. По псевдосфере и сфере видно, что они вложены в 3д.

2) Подозреваю, что это невозможно и надо использовать либо комплексные координаты, либо бо'льшие размерности. Как обстоит на самом деле?

3) Если как-то введутся координаты, то мне необходимо находить точки пересечения как-то заданной плоскости и как-то заданных прямых, проходящих через заданные точки.

4) Пример: как в координатах задать точку/линию/плоскость в 3хмерном пространстве Лобачевского?

5) Я где-то читал, что существующие модели плоскости Лобачевского передают только её часть, а не целиком. Решена ли эта проблема в пространствах с размерностью больше 2х, 3х?

6) Пока не нашёл подходящих книг, с чего следует начинать?

Могу спрашивать чушь, т.к. совсем не знаю этой темы, а в доступной литературе много слов про постулаты, но мало упорядоченного изложения.

[Brukvalub]

Интересно, а что вы понимаете под словами "пространство Лобачевского"? Дать определение этого пространства вас не затруднит?

[Munin]

Brukvalub
А что, есть какие-то варианты?

(Оффтоп)

$n$-мерным пространством Лобачевского (в 3-мерном случае - просто пространством Лобачевского) назовём связную компоненту псевдосферы действительного ненулевого радиуса в $(1,n)$-псевдоевклидовом пространстве.

[Brukvalub]

Есть проблемы... Есть аксиоматическое определение ПЛ, есть множество его моделей, есть и странности в запросе ТС, чего стОит одно лишь заявление:
"Я где-то читал, что существующие модели плоскости Лобачевского передают только её часть, а не целиком. Решена ли эта проблема в пространствах с размерностью больше 2х, 3х?"
Хорошо бы сначала разобраться, кто и зачем к нам зашел, а уж потом начать всерьез консультировать...

[Munin]

Brukvalub в сообщении #846823 писал(а):

Есть аксиоматическое определение ПЛ

Где ПЛ - плоскость Лобачевского? Ну, проблема тут тогда в том, что для каждой следующей размерности приходится лепить новую аксиоматику, или формулировать её сразу в обобщённом виде.

Brukvalub в сообщении #846823 писал(а):

есть множество его моделей

Какая разница, какую модель использовать? Геометрия самого пространства Лобачевского при этом остаётся одна и та же (факты геометрии, типа пересечения или непересения прямых, метрические соотношения и т. п.).

(Оффтоп)

Я тоже, честно говоря, назвал модель. Не знаю, как лучше сформулировать.

Brukvalub в сообщении #846823 писал(а):

Хорошо бы сначала разобраться, кто и зачем к нам зашел, а уж потом начать всерьез консультировать...

Это можно.

Yorick в сообщении #846804 писал(а):

Пока не нашёл подходящих книг, с чего следует начинать?

Геометрия Лобачевского в современной математике - не такая большая цаца, чтобы посвящать ей одной целую книгу. Это всего лишь одно из многих возможных пространств, изучаемых современной геометрией. Вот геометрия (как раздел математики) - штука большая, и не помещается в одну книгу.

Геометрию Лобачевского можно начать изучать уже с точки зрения аналитической геометрии (аналогично сферической геометрии), но наиболее естественно её рассматривать в курсе дифференциальной геометрии. Кроме того, в физике геометрия Лобачевского возникает как побочный результат в специальной теории относительности (СТО), после построения псевдоевклидова пространства-времени. В зависимости от того, с какой стороны вы с этим понятием столкнулись, или с какой стороны хотите зайти, и какой у вас background, и будет различаться рекомендуемая литература.

[kp9r4d]

Есть брошюрка «Геометрия Лобачевского» В.В. Прасолова и есть учебник «Геометрия» Прасолова, Тихомирова, где геометрии Лобачевского посвящена одна глава (учебник является основным в курсе «Геометрия-I» НМУ и ВШЭ), сам я их периодически пытаюсь разбирать с переменным успехом. Советовать не буду, так как не разбираюсь, просто хочу оповестить о существовании.

[Munin]

Тогда уточню: книги по геометрии Лобачевского есть, но я их читать не рекомендую. Намного проще и эффективней разобраться с ней с общих позиций.

(Оффтоп)

Мне в своё время для удовлетворения любознательности хватило статьи в Математической Энциклопедии. Тогда я достаточно понял про "аксиоматическую геометрию Лобачевского", а потом уже выяснил, что не в ней счастье.

[Yorick]

Бэкграунд - три курса технического вуза.

На двумерной сфере - ясно как задать координаты точки, как двигать, на трёхмерной - тоже более-менее ясно.

Цель - понять как задаются и проецируются простейшие геометрические объекты и написать программу, то есть
Моделирование сферы Пуанкаре на компьютере.

[Munin]

Простите, а какое отношение (хоть малейшее) имеет сфера Пуанкаре к геометрии Лобачевского?

В общем, вам нужны учебники по дифференциальной геометрии. И читать их с самого начала.

Если вы не проходили в вашем техническом вузе тензоров и тензорного анализа - сначала их, потом дифгем.

[Утундрий]

Yorick в сообщении #846804 писал(а):

возможно ли и, если возможно, то как ввести координаты в n-мерное пространство Лобачевского. По псевдосфере и сфере видно, что они вложены в 3д.

Возможно, конечно. Там коразмерность везде 1 (как тупое следствие максимальной симметрии). Только вместо сфер кое-где придётся рассмотреть псевдосферы. Но это ерунда, тривиальная с точностью до замены круговых функций на гиперболические.

[Munin]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #846893 писал(а):

Там коразмерность везде 1 (как тупое следствие максимальной симметрии).

Ой, а это как? А 2 уже нельзя?

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #846893 писал(а):
ерунда, тривиальная с точностью до замены круговых функций на

квадратовые...

[Утундрий]

Munin в сообщении #846934 писал(а):

А 2 уже нельзя?

Ну... Можно, наверное, только зачем?

[Munin]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #846935 писал(а):

Можно, наверное, только зачем? :shock:

Ну, хотя бы затем, чтобы вы не утверждали лишнего. "Всегда можно 1" и "всегда 1" - вещи разные.

[Утундрий]

Munin в сообщении #846939 писал(а):

"Всегда можно 1" и "всегда 1" - вещи разные.

Ну да, однако, в свете

Yorick в сообщении #846804 писал(а):

Особенно интересует возможно ли

это однокорнеплодственно.

[Ales]

Yorick в сообщении #846804 писал(а):

если возможно, то как ввести координаты

Координаты в пространстве - это локальное отображение на область в евклидовом пространстве.
Если Вы не накладываете какие-то требования на это отображение,
то координаты могут быть введены произвольно.

Я не согласен, что геометрия Лобачевского малоинтересна.
Реально существуют только три геометрии: Лобачевского, Евклида и геометрия на сфере.
Каждая из них отличается своими замечательными свойствами.

Munin написал выше про более общий и интересный, например, для физики, случай,
но этот общий случай не допускает движений и симметрий, которые могут быть интересны математикам.

К сожалению, не могу рекомендовать какую-либо литературу,
сам я ничего не читал.

Кстати, предлагаю задачу - показать, что на компактных 2-мерных многообразиях возможны только такие геометрии:
- сфера,
- бублик - тор с Евклидовой геометрией,
- кренделя с количеством ручек от 2-х и выше с геометрией Лобачевского.

Еще есть интересный факт - в пространстве Лобачевского или на сфере
орбиты планет тоже эллипсы. Наш 1-ый закон Кеплера - это частный случай для кривизны = 0.

-- Пн апр 07, 2014 22:40:05 --

Yorick в сообщении #846855 писал(а):

Моделирование сферы Пуанкаре на компьютере.

Я не знаю, что такое сфера Пуанкаре (какая-то штука в физике).

Но для геометрии Лобачевского есть модель Пуанкаре на круге.

Вы уверены, что Вам надо моделировать именно сферу Пуанкаре, а не круг Пуанкаре?