Иррациональность чисел (построить сечение)

[student]

Как можно доказать, что число $2^{\sqrt{2}} иррациональное?

[RIP]

Ну, можно воспользоваться теоремой Гельфонда-Шнайдера (она же 7я проблема Гильберта).
Теорема. Пусть $\alpha\ne0$ и $\beta$ --- алгебраические числа, причём $\beta$ иррационально. Если $\log\alpha\ne0$ --- некоторое значение натурального логарифма числа $\alpha$, то $\alpha^{\beta}(:=e^{\beta\log\alpha})$ трансцендентно.

Раз уж $2^{\sqrt2}$ трансцендентно, то оно и подавно иррационально.

[Brukvalub]

Например, выстрелить из пушки по воробью и, воспользовавшись решением 7-й проблемы Гильберта, доказать, что оно - трансцендентно, и тогда - иррационально ( RIP опередил!)

[student]

В Демидовиче стоит такая задача:
Надо построит сечение $2^{\sqrt{2}}$.
Ведь сечение это разбиение рациональных чисел на два класса ...!
А это задача предназначенно для первокурсникам и они врядли знают эту теорему!

[Brukvalub]

student писал(а):

В Демидовиче стоит такая задача:
Надо построит сечение $2^{\sqrt{2}}$.
Ведь сечение это разбиение рациональных чисел на два класса ...!
А это задача предназначенно для первокурсникам и они врядли знают эту теорему!

Так Вы-то спросили совсем о другом! Сечение строится с помощью рациональных приближений числа

\[\sqrt 2 \]

и не связана с алгебраической природой числа $2^{\sqrt{2}}$

[Amigo]

Brukvalub писал(а):

student писал(а):

В Демидовиче стоит такая задача:
Надо построит сечение $2^{\sqrt{2}}$.
Ведь сечение это разбиение рациональных чисел на два класса ...!
А это задача предназначенно для первокурсникам и они врядли знают эту теорему!

Так Вы-то спросили совсем о другом! Сечение строится с помощью рациональных приближений числа

\[\sqrt 2 \]

и не связана с алгебраической природой числа $2^{\sqrt{2}}$

А не могли бы Вы пояснить: как это можно сделать в этом конкретном случае?
Видимо мы должны рассматривать рациональные приближения к корню из двух,например полагаем \sqrt 2 >=1,4142, затем должны вычислить значение A=2^{1,4142} (правда я ума не приложу, как это можно сделать) и наконец те рац. числа х которые удовлетворяют условию: x^{1,4142}<=A отнести к отдному классу а все остальные к другому? Только, разве таким образом мы построим абсолютно точное сечение в области рациональнных чисел для искомого числа? Что вообще понимается в задачах о построении сечения в области рац. чисел, коогда речь заходит о столь сложных числах, содержащих в степени иррациональность? Что предлагается найти некую закономерность?

[Brukvalub]

Если

\[a_0 ,a_1 ...a_n \]

-конечная десятичная дробь, и r - рациональное число, то всегда можно за конечное число арифметических операций сравнить r и

\[2^{a_0 ,a_1 ...a_n } \]

. Поэтому корректно определяются два множества: множество рациональных чисел, которые больше всех значений

\[2^{a_0 ,a_1 ...a_n } \]

, где в качестве конечных десятичных дробей

\[a_0 ,a_1 ...a_n \]

берутся всевозможные десятичные приближения числа

\[\sqrt 2 \]

с недостатком, и множество остальных рациональных чисел. Вот и получено нужное сечение.

[Amigo]

Вы здесь описали ОБЩУЮ схему, однако, из неё совершенно не видно как она соотносится с нашим КОНКРЕТНЫМ числом.
Или именно в таком виде должны даваться ответы на задачи такого рода?

Добавлено спустя 19 минут 19 секунд:

Кроме того: Вы заменили вполне конкретно число - корень из двух-
его десятичными приближениями. Но тогда Вы строите сечения -
уже для совершенно других чисел. Меня же интересует ИСТИННОЕ сечение для исходного числа. Но ведь для этого нужно взять весь
бесконечный "хвост" корня из двух, что видимо не возможно.
Поэтому точного сечения без указания на "закономерность" мы по всей видимости построить не сможем.

[PAV]

Amigo писал(а):

Или именно в таком виде должны даваться ответы на задачи такого рода?

Именно в таком. Сечение для числа $\sqrt{2}$ тоже ведь описывается таким же образом. Не очень понятно, что Вы называете "точным заданием сечения".

[Brukvalub]

Amigo писал(а):

Кроме того: Вы заменили вполне конкретно число - корень из двух-
его десятичными приближениями. Но тогда Вы строите сечения -
уже для совершенно других чисел. Меня же интересует ИСТИННОЕ сечение для исходного числа. Но ведь для этого нужно взять весь
бесконечный "хвост" корня из двух, что видимо не возможно.
Поэтому точного сечения без указания на "закономерность" мы по всей видимости построить не сможем.

Я точно построил точное сечение. Если Вам что-то непонятно, то укажите конкретное место в конструкции, которое вызывает сомнения. А Ваши общие рассуждения о невозможности построить то, что на Ваших глазах построено, в свою очередь, непонятны мне.

[Amigo]

PAV писал(а):

Amigo писал(а):

Или именно в таком виде должны даваться ответы на задачи такого рода?

Именно в таком. Сечение для числа $\sqrt{2}$ тоже ведь описывается таким же образом. Не очень понятно, что Вы называете "точным заданием сечения".

Я не могу этого объяснить, и надеюсь, что Вы сами поймёте за меня чего я не понимаю и затем объясните мне .

Вот есть число $\sqrt{2}$ спрашивается: сколько знаков содержит это число после запятой? Ответ: бесконечно. (это можно строго доказать). Значит число 2 мы должны возвести не просто в какую-либо степень, а в степень, содержащую ИМЕННО бесконечное количество знаков после запятой. Так почему уважаемый Brukvalub предлагает
метод, который опирается на десятичные приближения числа $\sqrt{2}$?
Откуда берётся увереность в том, что рассматривая десятичные приближения числа(а они всегда только конечные) $\sqrt{2}$ мы в конечном счёте построим наше сечение
для бесконечного "хвоста"?

[PAV]

Amigo писал(а):

Откуда берётся увереность в том, что рассматривая десятичные приближения числа(а они всегда только конечные) мы в конечном счёте построим наше сечение

Что означает "в конечном счете построим сечение"? Сечение - это разбиение множества рациональных чисел на два класса. "Построить сечение" означает указать метод, с помощью которого для любого рационального числа можно определить, к какому классу оно относится. Этот метод построен. Действительно, для различных рациональных чисел может потребоваться различное число знаков $\sqrt{2}$ после запятой, но тем не менее для любого числа можно ответить на интересующий нас вопрос за конечное число шагов.

Добавлено спустя 1 минуту 52 секунды:

Правда, этот факт все-таки опирается на иррациональность самого числа $2^{\sqrt{2}}$, поскольку если бы это число было рациональным, то для него мы бы не смогли дать ответа.

[Amigo]

PAV писал(а):

Сечение - это разбиение множества рациональных чисел на два класса. "Построить сечение" означает указать метод, с помощью которого для любого рационального числа можно определить, к какому классу оно относится.

Теперь более менее понятно. Однако, не могли бы Вы дать мне ссылку хотя бы на один учебник, где понятие "Построить сечение" - было бы настолько ясно определено?
А то у меня под рукой Фихтенгольц, смотрю.... но пока нечего подобного не увидел.

[tolstopuz]

У меня есть подозрение, что ответ чисто в терминах рациональных чисел будет предпочтительнее. Например:

Отнесем к правому классу те положительные рациональные числа $x$, для которых существуют натуральные числа $p, q$, удовлетворяющие условию $p^2 < 2q^2$, при которых выполняется неравенство $x^q > 2^p$. Остальные рациональные числа отнесем к левому классу.

Неплохо бы еще доказать, что полученная пара множеств является сечением и что действительное число, определямое этим сечением, действительно равно $2^{\sqrt 2}$.

[PAV]

Amigo писал(а):

Теперь более менее понятно. Однако, не могли бы Вы дать мне ссылку хотя бы на один учебник

Не уверен. Вообще-то понятие "построить математический объект" несколько дискуссионно и в некоторых случаях совсем не тривиально... Но в данном случае все просто. Разбиение объектов на два класса есть просто функция на множестве этих объектов, принимающая два значения. Построить функцию - значит указать способ ее вычисления в каждой точке. В данном случае, поскольку мы можем получить точный ответ за конечное количество шагов, никаких вопросов не возникает.