Иррациональность чисел (построить сечение)

[tolstopuz]

PAV писал(а):

В данном случае, поскольку мы можем получить точный ответ за конечное количество шагов, никаких вопросов не возникает.

Естественно, это дело вкуса. Просто я воспитан на педантизме Рудина, и использование действительных чисел при построении сечений кажется мне лишней зависимостью, а десятичные дроби вообще вызывают аллергию

[Amigo]

PAV писал(а):

Amigo писал(а):

Теперь более менее понятно. Однако, не могли бы Вы дать мне ссылку хотя бы на один учебник

Не уверен. Вообще-то понятие "построить математический объект" несколько дискуссионно и в некоторых случаях совсем не тривиально... Но в данном случае все просто. Разбиение объектов на два класса есть просто функция на множестве этих объектов, принимающая два значения. Построить функцию - значит указать способ ее вычисления в каждой точке. В данном случае, поскольку мы можем получить точный ответ за конечное количество шагов, никаких вопросов не возникает.

Благодарю, далее думаю разберусь.

tolstopuz писал(а):

У меня есть подозрение, что ответ чисто в терминах рациональных чисел будет предпочтительнее. Например:

Отнесем к правому классу те положительные рациональные числа $x$, для которых существуют натуральные числа $p, q$, удовлетворяющие условию $p^2 < 2q^2$, при которых выполняется неравенство $x^q > 2^p$. Остальные рациональные числа отнесем к левому классу.

Неплохо бы еще доказать, что полученная пара множеств является сечением и что действительное число, определямое этим сечением, действительно равно $2^{\sqrt 2}$.

Расскажите по подробней: как Вы к этой постановке задачи пришли?

[tolstopuz]

Amigo писал(а):

tolstopuz писал(а):

Отнесем к правому классу те положительные рациональные числа $x$, для которых существуют натуральные числа $p, q$, удовлетворяющие условию $p^2 < 2q^2$, при которых выполняется неравенство $x^q > 2^p$.

Расскажите по подробней: как Вы к этой постановке задачи пришли?

$x > 2^{\sqrt 2}$ равносильно тому, что $x > 2^{p/q}$ при каких-нибудь натуральных $p$ и $q$, таких, что $p/q < \sqrt 2$. А дальше просто возведение первого неравенства в степень $q$ и второго неравенства в квадрат.

[Amigo]

tolstopuz писал(а):

$x > 2^{\sqrt 2}$ равносильно тому, что $x > 2^{p/q}$ при каких-нибудь натуральных $p$ и $q$, таких, что $p/q < \sqrt 2$.

А нет ли ошибки? Может должно быть $p/q > \sqrt 2$

[tolstopuz]

Amigo писал(а):

А нет ли ошибки? Может должно быть $p/q > \sqrt 2$

Да, конечно. Перепутал.