Круг, интервал

[Terraniux]

Может ли открытый круг быть образом интервала при непрерывном отображении?

Мой вариант: может, зависимость $r(\varphi) = \left|\sin{ \tg \dfrac{\pi\varphi}{2}}\right|, \varphi \in (0;1)$ в полярной системе координат задает биекцию между точками круга $r<1$ и интервалом $(0;1)$.

[gris]

Интересно, а с какой точкой интервала биектируется точка круга с координатами $(\varphi=0, r=0.245)$ при Вашем отображении?

[Nemiroff]

Как вообще строится отображение? Вот было $(r,\varphi)$, и куда оно попадёт?

[TOTAL]

gris в сообщении #843373 писал(а):

Интересно, а с какой точкой интервала биектируется точка круга с координатами $(\varphi=0, r=0.245)$ при Вашем отображении?

А он и не утверждает, что отображение задает биекцию между всеми точками круга и точками интервала.

[iifat]

TOTAL в сообщении #843388 писал(а):

он и не утверждает, что отображение задает биекцию между всеми точками круга

А вот это

Terraniux в сообщении #843351 писал(а):

открытый круг быть образом интервала

не оно разве? Образ — значит, в каждую точку открытого круга что-то отображается (возможно, не одна точка, то бишь, не биекция).

[gris]

Идея-то понятна: Запустить из нуля бесконечно осциллирующую спираль. Непрерывность будет, биекции не будет (а её и так нельзя построить, непрерывную), будет и всюду плотность, а вот получится ли сюрьекция?

[Terraniux]

gris в сообщении #843391 писал(а):

Идея-то понятна: Запустить из нуля бесконечно осциллирующую спираль. Непрерывность будет, биекции не будет (а её и так нельзя построить, непрерывную), будет и всюду плотность, а вот получится ли сюрьекция?

Может ли круг содержаться в образе интервала?
Да, идею Вы правильно поняли, это она и была. возникла по аналогии с кривыми Пеано, которые содержат квадрат. Можно ли сделать аналогичное с кругом и интервалом?
А если так: выделить какой-либо отрезок, затем кривая Пеано, получим квадрат, содержащий круг и еще оставшиеся точки перейдут во что-то.

[Brukvalub]

Квадрат и круг гомеоморфны (даже конформно эквивалентны!), так в чем тогда проблема?

[gris]

Проблема в том, что ТС думал, что спиралями можно заполнить квадрат. Однако, тут соображения счётности, о которых даже и не подумалось. Надо всё-таки постепенно к таким задачам подходить.

[Terraniux]

gris в сообщении #843647 писал(а):

Проблема в том, что ТС думал, что спиралями можно заполнить квадрат. Однако, тут соображения счётности, о которых даже и не подумалось. Надо всё-таки постепенно к таким задачам подходить.

Образ будет иметь меру нуль на плоскости, правильно понимаю?
Скажите тогда, пожалуйста, как кривая Пеано заполняет содержит квадрат, не понимаю суть этой кривой.

[gris]

Я имел в виду не меру, а именно счётность. Вы уже достаточно искушённый в математике человек и начиная некую идею должны осмысливать побочные аспекты. Например, спираль, которая много раз оборачивается вокруг центра и то сжимается, то расширяется по подразумеваемой Вами формуле. Кажется, что она заполнит весь круг, пройдёт в любой близи от каждой точки. Да. Но проведём произвольный радиус и увидим, что спираль при каждом обороте пересекает его один раз. То есть вся спираль пересечёт его только счётное число раз. Вот только это я и имел в виду. Некие соображения, которые Вы должны приучить приходить Вам в голову ещё перед развитием начальной идеи. А про Пеано написано достаточно.
Извините за многословие, я только что из к-ии.

[Terraniux]

gris в сообщении #843817 писал(а):

имел в виду не меру, а именно счётность.

Теперь понятно, на каждый радиус приходится интервал прямой, коих счетное количество. Будет что-то типа рациональных чисел. И лебегова мера 0 тоже будет, из тех же соображений.
туплю я .

[Алексей К.]

(gris!)

gris в сообщении #843817 писал(а):

Некие соображения, которые Вы должны приучить

gris,

чо-то я тоже туплю с утра:
"которых Вы должны приучить", или всё же
"которые ..."?

[gris]

(Оффтоп)

Алексей К., это была первоапрельская шутка.
Но если серьёзно, то тут, по-моему, действует правило одушевлённости, причём чисто формальной.
Есть люди, которых я не знаю, но уважаю и ценю. Есть книги, которые я читал, но не осуждаю.
Возможно, есть соображения, которых можно считать одушевлёнными, например, последнее у ТС.
Хотя "пейте соков натуральных" — классика

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Yes! Я краем мозга подумал про одушевлённость, но до конца не довёл!
Merci.