2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Изоморфизм групп
Сообщение26.03.2014, 01:56 
Помогите пожалуйста решить задачу!

Среди следующих групп указать все пары изоморфных между собой групп: $\langle Z/2Z, +, -\rangle$, $\langle R^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$, $\langle Q^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$, $\langle Z^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$. Объяснить, почему остальные неизоморфны между собой.


Решение: $\langle Z/2Z, +, -\rangle$ - циклическая группа из двух элементов 0 и 1, $\langle Z^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ - моноид (нет обратных элементов), $\langle R^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$, $\langle Q^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ - бесконечные группы. Изоморфизм можно построить, если будет взаимно однозначное соответствие, т.е число элементов должно быть одинаково. $\langle Z/2Z, +, -\rangle$ - не рассматриваем, т.к. она единственная конечная группа среди представленных, $\langle Z^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ - не рассматриваем, т.к. вообще моноид, а не группа.

Получается необходимо только рассмотреть $\langle R^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$, $\langle Q^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$?

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение26.03.2014, 02:22 
Что есть звёздочка?

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение26.03.2014, 02:55 
Означает, что группа мультипликативная.

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение26.03.2014, 02:58 
Аватара пользователя
Зачем? Там же знак умножения и так поставлен. Может, звездочка означает "без нуля"?

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение26.03.2014, 03:07 
Да, скорее всего без нуля))
Мы просто на занятиях всегда так $\langle A^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ обозначаем мультипликативную группу, но всегда подразумевали, что в ней нет 0 (если был бы 0, то $\langle A^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ не являлась группой, т.к. для 0 нет обратного элемента), а насчет звездочки я даже не задумывался) В общем, $\langle A^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ - мультипликативная группа без нуля.

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение26.03.2014, 03:12 
Ну ладно. Вы там что-то про число элементов говорили. Что насчёт ваших $\langle R^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$, $\langle Q^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$?

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение30.03.2014, 07:15 
По идее, число элементов в $\langle R^{*}, \cdot, ^{-1} \rangle$, $\langle Q^{*}, \cdot, ^{-1} \rangle$ бесконечно много. Так?)

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение30.03.2014, 07:55 
Ключевое слово: мощность.

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение30.03.2014, 09:24 
Мощность группы - это количество элементов в группе. Т.е. мощность бесконечных групп равна $+ \infty$. И что нам это дает?

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение30.03.2014, 10:07 
Аватара пользователя
Плюсбесконечности бывают разные.

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение30.03.2014, 10:31 
В своем прошлом сообщении я хотел сказать, что в $\langle R^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ и $\langle Q^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ количество элементов бесконечно.
Никогда не встречался с разными плюсбесконечностями. Наверно, я не так понял, что вы имели ввиду.

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение30.03.2014, 10:47 
Прочитайте где-нибудь про мощности. Бесконечность -- это не мощность.

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение30.03.2014, 13:36 
Почитал. Правильно ли я понял?

Мощность множества - количество элементов в множестве. Множества Q и R неравномощны, множество рациональных чисел - счетное множество, действительных - несчетное. Следовательно их мультипликативные группы неизоморфны.

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение30.03.2014, 13:41 
Аватара пользователя
Верно.

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение30.03.2014, 13:46 
Всем огромное спасибо))

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group