Бесселя в нуле

[r0ma]

Здравствуйте!
Интересует асимтотическое разложение бесселевых функций (Бесселя 1го рода и Макдональда) при стремлении аргумента к нулю. Как вывести самому я не знаю (буду рад если дадите намёк) и, по правде говоря, на это просто нет времени. В интернете нашёл следующее:

$$I_0(x)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{(x/2)^{2k}}{(k!)^2}\approx1-\frac{x^2}{4}$$

$$I_1(x)\approx\frac{x}{2}$$

$$K_0(x)\approx\ln\frac{1}{x}$$

$$K_1(x)\approx\frac{1}{x}.$$

Это верные разложения при $x\rightarrow 0$? Первые два нагуглил в wolfram, остальные просто взял откуда-то. Вообще, вроде как похоже, но мне бы хотелось знать наверняка.

[Утундрий]

Коль уж речь зашла о Вольфраме, то есть там такая волшебная штуковина Series...

Например, ${\text{Series[BesselK[0, x], \{ x, 0, 5\} ]}}$ даёт

$${\text{ln}}\frac{{\text{1}}}{{\text{x}}} - \gamma + \ln 2 + \frac{{x^2 }}{4}\left( {{\text{ln}}\frac{{\text{1}}} {{\text{x}}} - \gamma + \ln 2 + 1} \right) + \frac{{x^4 }}{{128}}\left( {2\left( {{\text{ln}}\frac{{\text{1}}}{{\text{x}}} - \gamma + \ln 2} \right) + 3} \right) + O\left( {x^6 } \right)$$

[ewert]

r0ma в сообщении #840013 писал(а):

Это верные разложения при $x\rightarrow 0$?

Для Бесселя верно так: $J_{\nu}(x)=(\frac{x}2)^{\nu}\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{(\frac{x}2)^{2k}}{k!\cdot(k+\nu)!}$. И это даже не асимптотика, а ряд Тейлора. Если же нужна именно $I_{\nu}$, т.е. модифицированная функция Бесселя, то будет ровно так же, только без минуса. Про Макдональда не помню; кажется, там действительно присутствует логарифм, но тогда он должен присутствовать при любых нижних индексах.

[r0ma]

Утундрий, ewert спасибо! Кстати, сейчас в голову пришло, может я чего-то не понимаю, конечно... Вот смотрите, в разложении Макдональдовской функции $K_0(x)\approx \ln\frac{1}{x}$, при малом $x.$ Но ведь $x$ мало! Можно же ведь продолжить:

$$K_0(x)\approx \ln\frac{1}{x}=-\ln x\approx1-x,$$

так? Почему оставляют в разложении по малым $x$ логарифм, ведь его можно же тоже расписать? Может я каких-то очевидных вещей не понимаю, объясните?

[Otta]

r0ma в сообщении #840049 писал(а):

$$-\ln x\approx1-x,$$

А ничего что при малом $x$ левая часть стремится к бесконечности, а правая к единице? Это не помешает?

[r0ma]

Otta
да я уже разобрался, что ступил. Просто сюда не написал.

[Otta]

Надо было просто удалить, пока Вам не ответили. Зачем писать.

[r0ma]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #840058 писал(а):

Надо было просто удалить, пока Вам не ответили. Зачем писать.

Я в процессе решения задачи был) Сообразил, а про форум-то и забыл совсем. Ну ладно, не страшно.

[Otta]

(Оффтоп)

Конечно.