2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Бесселя в нуле
Сообщение23.03.2014, 18:35 
Аватара пользователя
Здравствуйте!
Интересует асимтотическое разложение бесселевых функций (Бесселя 1го рода и Макдональда) при стремлении аргумента к нулю. Как вывести самому я не знаю (буду рад если дадите намёк) и, по правде говоря, на это просто нет времени. В интернете нашёл следующее:

$$I_0(x)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{(x/2)^{2k}}{(k!)^2}\approx1-\frac{x^2}{4}$$
$$I_1(x)\approx\frac{x}{2}$$
$$K_0(x)\approx\ln\frac{1}{x}$$
$$K_1(x)\approx\frac{1}{x}.$$

Это верные разложения при $x\rightarrow 0$? Первые два нагуглил в wolfram, остальные просто взял откуда-то. Вообще, вроде как похоже, но мне бы хотелось знать наверняка.

 
 
 
 Re: Бесселя в нуле
Сообщение23.03.2014, 18:56 
Аватара пользователя
Коль уж речь зашла о Вольфраме, то есть там такая волшебная штуковина Series...

Например, ${\text{Series[BesselK[0, x], \{ x, 0, 5\} ]}}$ даёт
$${\text{ln}}\frac{{\text{1}}}{{\text{x}}} - \gamma  + \ln 2 + \frac{{x^2 }}{4}\left( {{\text{ln}}\frac{{\text{1}}}
{{\text{x}}} - \gamma  + \ln 2 + 1} \right) + \frac{{x^4 }}{{128}}\left( {2\left( {{\text{ln}}\frac{{\text{1}}}{{\text{x}}} - \gamma  + \ln 2} \right) + 3} \right) + O\left( {x^6 } \right)$$

 
 
 
 Re: Бесселя в нуле
Сообщение23.03.2014, 19:22 
r0ma в сообщении #840013 писал(а):
Это верные разложения при $x\rightarrow 0$?

Для Бесселя верно так: $J_{\nu}(x)=(\frac{x}2)^{\nu}\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{(\frac{x}2)^{2k}}{k!\cdot(k+\nu)!}$. И это даже не асимптотика, а ряд Тейлора. Если же нужна именно $I_{\nu}$, т.е. модифицированная функция Бесселя, то будет ровно так же, только без минуса. Про Макдональда не помню; кажется, там действительно присутствует логарифм, но тогда он должен присутствовать при любых нижних индексах.

 
 
 
 Re: Бесселя в нуле
Сообщение23.03.2014, 20:49 
Аватара пользователя
Утундрий, ewert спасибо! Кстати, сейчас в голову пришло, может я чего-то не понимаю, конечно... Вот смотрите, в разложении Макдональдовской функции $K_0(x)\approx \ln\frac{1}{x}$, при малом $x.$ Но ведь $x$ мало! Можно же ведь продолжить: $$K_0(x)\approx \ln\frac{1}{x}=-\ln x\approx1-x,$$ так? Почему оставляют в разложении по малым $x$ логарифм, ведь его можно же тоже расписать? Может я каких-то очевидных вещей не понимаю, объясните?

 
 
 
 Re: Бесселя в нуле
Сообщение23.03.2014, 21:05 
r0ma в сообщении #840049 писал(а):
$$-\ln x\approx1-x,$$

А ничего что при малом $x$ левая часть стремится к бесконечности, а правая к единице? Это не помешает?

 
 
 
 Re: Бесселя в нуле
Сообщение23.03.2014, 21:07 
Аватара пользователя
Otta
да я уже разобрался, что ступил. Просто сюда не написал.

 
 
 
 Re: Бесселя в нуле
Сообщение23.03.2014, 21:09 
Надо было просто удалить, пока Вам не ответили. :-) Зачем писать.

 
 
 
 Re: Бесселя в нуле
Сообщение23.03.2014, 21:15 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Otta в сообщении #840058 писал(а):
Надо было просто удалить, пока Вам не ответили. :-) Зачем писать.
Я в процессе решения задачи был) Сообразил, а про форум-то и забыл совсем. Ну ладно, не страшно.

 
 
 
 Re: Бесселя в нуле
Сообщение23.03.2014, 21:19 

(Оффтоп)

Конечно.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group