Вопрос по Линейной алгебре

Городецкий Павел · 25/12/06 63

Мне бы хотелось уточнить. Вот самое первое определение из курса линейной алгебры:
Опр. Пусть $K$ - произвольное поле. Векторным (или линейным) пространством над $K$ называется множество $V$ элементов (именуемых векторами), с двумя операциями: сложением элементов множества $V$ и умножением векторов из $V$ на скаляр из $K$ . Далее приводится 8 аксиом

Вопрос: Не совсем четко улавливается связь поля $K$ с векторным пространством, которое как должно быть видно из определения (мне не совсем видно

) строиться над полем. Из определения видно что мы только умножаем одно на другое, а уже потом далее в курсе вводится понятие базис, координаты вектора в базисе, которые являются элементами поля и т.д.

PAV · 29/07/05 8248 Москва

Пример: совокупность полиномов (заданной степени) с рациональными коэффициентами будет векторным пространством над полем Q. Если же взять над полем R, то получим множество полиномов с вещественными коэффициентами.

Городецкий Павел · 25/12/06 63

то есть слово НАД грубо говоря показывает какому полю принадлежат "координаты"

bot · 21/12/05 5931 Новосибирск

Над указывает что можно с векторами делать кроме как складывать. Умножение вектора на фиксированное число можно рассматривать как одноместную операцию. Вот это над и описывает это множество операций.
Теперь ещё раз прочитайте пример PAVа.

Координаты возникают уже потом вместе с понятием базиса, разумеется координаты окажутся элементами основного поля, над которым рассматривается векторное пространство.

Городецкий Павел · 25/12/06 63

Понятно, хотя остается чувство неглобальности

(наверно пройдет

)

А вот если смотреть далее курс Линейной алгебры.
Есть определение линейной функции $f:V \to K$
Далее есть определение двойственного (сопряженного или дуального) пространства к $V$ , которое обозначается $V^*$
Далее берем уже пространство двойственное к $V^*$ и получаем $V^{**}$ , то есть получается, что $\varepsilon :V \to V^{**} ;\varepsilon (x) = \varepsilon _x ,\varepsilon _x (f) = f(x),x \in V,f \in V^* ,\varepsilon _x \in V^{**}$ - является как бы сложной функцией?

Brukvalub · 01/03/06 13626 Москва

Тогда уж, вернее, "обратной" функцией?

(на самом деле, конечно - нет). Лучше назвать такую операцию "спариванием" функции и точки, причем и функция, и точка в таком спаривании играют равноправную роль.

Городецкий Павел · 25/12/06 63

Не совсем понял
$x$ - вектор
$f$ - линейная функция
а вот
$\varepsilon _x$ - ? (т.е. $V^{**}$ - это множество чего ?)
$\varepsilon$ - ?

RIP · 11/01/06 3824

$V^{**}:=\left(V^*\right)^*$ , т.е. это множество линейных функционалов на векторном пространстве $V^*$ (ведь это тоже векторное пространство над полем $K$ ). (На самом деле, к $V^*$ относят только непрерывные линейные функционалы, но в курсе линала обычно по умолчанию считается, что все пространства конечномерны, поэтому любой линейный функционал является непрерывным.) Несложно понять, что при фиксированном $x$ формула $\varepsilon_x(f)=f(x)$ задаёт линейный функционал $\varepsilon_x$ на $V^*$ (нужно проверить линейность по $f$ ), т. е. $\varepsilon_x\in V^{**}$ . Вот и получаем, что каждому $x\in V$ мы сопоставили элемент $V^{**}$ , т. е. задано отображение $\varepsilon\colon V\to V^{**}$ , $\varepsilon(x):=\varepsilon_x$ .

Городецкий Павел · 25/12/06 63

Как я понял $V^{**}$ - это множество линейных функционалов, а $V^*$ - это множество линейных функций? и все это векторные пространства? И еще немного глупый вопрос чем отличается линейный функционал от линейной функции?

RIP · 11/01/06 3824

Городецкий Павел писал(а):

чем отличается линейный функционал от линейной функции?

Только названием, это синонимы.

И $V^{**}$ , и $V^*$ есть множества линейных функций, просто эти функции определены на разных векторных пространствах. Функции из $V^{*}$ определены на $V$ , в то время как функции из $V^{**}$ определены на $V^*$ , т. е., если обозначить $W=V^*$ , то $V^{**}=W^*$ . Разумеется, это векторные пространства над тем же полем, что и $V$ .

Городецкий Павел · 25/12/06 63

Вот спасибо

А вот если рассматривать тензор типа (0,1) - это будут как раз линейные функции на $V^*$ , т.е. элементы из $V^{**}$ .
И как уже было сказано между $V^*$ и $V^{**}$ существует изоморфизм, позволяющий отождествить $\varphi \in V^{**}$ с некоторым вектором $x_\varphi \in V$ .
И это отождествление реализуется в записи линейной формы (Кострикин А.И. т2 Линейная алгебра стр 261)
$f(x) = (f,x)$ .
А это значит при фиксированном $f$ это есть фиксированная функция на $V$ , а при фиксированном $x$ - линейная функция на $V^*$ . То есть тензоры типа (0,1) можно считать векторами - элементами из $V$ .
Последнюю фразу Алексея Ивановича в свете всего вышесказанного в этом посте я не понял. Поясните пожалуйста.

RIP · 11/01/06 3824

Последняя фраза просто резюмирует всё вышесказанное:
1) Тензоры типа (0,1) есть элементы $V^{**}$ .
2) Элементы $\varphi\in V^{**}$ можно считать (можно отождествить с) векторами $x_{\varphi}\in V$ в силу написанного выше.

Городецкий Павел · 25/12/06 63

то есть можно считать в смысле можно отождествить, а то я совсем запутался где векторы, где функции и т.д.

RIP · 11/01/06 3824

Любой тензор $\varphi$ можно записать написанной выше формулой для некоторого однозначно определённого вектора $x_\varphi$ . Грубо говоря, "знать" тензор $\varphi$ --- это всё равно, что знать соответствующий вектор $x_\varphi$ , поэтому, говоря ещё грубее, можно считать, что $\varphi$ и $x_\varphi$ --- одно и то же (их можно "отождествить"), хотя на самом деле это разные вещи.

Добавлено спустя 3 минуты 3 секунды:

Городецкий Павел писал(а):

а то я совсем запутался где векторы, где функции и т.д.

В алгебре ещё и не такое бывает. Алгебраисты очень любят "отождествлять", называя это изоморфизмом.

Надо просто привыкнуть.

Городецкий Павел · 25/12/06 63

RIP писал(а):

В алгебре ещё и не такое бывает. Алгебраисты очень любят "отождествлять", называя это изоморфизмом. Надо просто привыкнуть.

Будем стараться

-----------------------------
Далее вот что вызвало вопрос:
Числа $T_{i_1 ,...,i_p }^{j_1 ,...,j_q } : = T(e_{i_1 } ,...,e_{i_p } ,e^{j_1 } ,...,e^{j_q } )$ называются координатами тензора.
Рассмотрим тензорное произведение базисных векторов $e_{i_1 } \otimes ... \otimes e_{i_p } \otimes e^{j_1 } \otimes ... \otimes e^{j_q }$
$e_{i_1 } \otimes ... \otimes e_{i_p } \otimes e^{j_1 } \otimes ... \otimes e^{j_q } (e_{i'_1 } ,...,e_{i'_p } ,e^{j'_1 } ,...,e^{j'_q } ) = \delta _{i_1^! }^{i_1 } ...\delta _{i_p^! }^{i_p } \delta _{j_1^! }^{j_1 } ...\delta _{j_q^! }^{j_q }$
(у меня штрихи не поставились строчка поплыла, а вот с ! нормально)
Построим тензор
$T_1 = \sum\limits_{i,j} {T_{i_1 ,...,i_p }^{j_1 ,...,j_q } e_{i_1 } \otimes ... \otimes e_{i_p } \otimes e^{j_1 } \otimes ... \otimes e^{j_q } }$
Далее я так понимаю обе части равенства умножили (???) на $(e_{i_1 } ,...,e_{i_p } ,e^{j_1 } ,...,e^{j_q } )$ и получили
$T_1 (e_{i_1 } ,...,e_{i_p } ,e^{j_1 } ,...,e^{j_q } ) = T_{i_1 ,...,i_p }^{j_1 ,...,j_q }$
И осталось одно слагаемое, где все $\delta =1$ так да?

Правильно ли я понял?

Научный форум dxdy

Правила форума

Вопрос по Линейной алгебре

Кто сейчас на конференции