Вопрос по Линейной алгебре

[Городецкий Павел]

Мне бы хотелось уточнить. Вот самое первое определение из курса линейной алгебры:
Опр. Пусть K - произвольное поле. Векторным (или линейным) пространством над K называется множество V элементов (именуемых векторами), с двумя операциями: сложением элементов множества V и умножением векторов из V на скаляр из K. Далее приводится 8 аксиом

Вопрос: Не совсем четко улавливается связь поля K с векторным пространством, которое как должно быть видно из определения (мне не совсем видно ) строиться над полем. Из определения видно что мы только умножаем одно на другое, а уже потом далее в курсе вводится понятие базис, координаты вектора в базисе, которые являются элементами поля и т.д.

[PAV]

Пример: совокупность полиномов (заданной степени) с рациональными коэффициентами будет векторным пространством над полем Q. Если же взять над полем R, то получим множество полиномов с вещественными коэффициентами.

[Городецкий Павел]

то есть слово НАД грубо говоря показывает какому полю принадлежат "координаты"

[bot]

Над указывает что можно с векторами делать кроме как складывать. Умножение вектора на фиксированное число можно рассматривать как одноместную операцию. Вот это над и описывает это множество операций.
Теперь ещё раз прочитайте пример PAVа.

Координаты возникают уже потом вместе с понятием базиса, разумеется координаты окажутся элементами основного поля, над которым рассматривается векторное пространство.

[Городецкий Павел]

Понятно, хотя остается чувство неглобальности (наверно пройдет )

А вот если смотреть далее курс Линейной алгебры.
Есть определение линейной функции

\[f:V \to K\]

Далее есть определение двойственного (сопряженного или дуального) пространства к

\[V\]

, которое обозначается

\[V^* \]

Далее берем уже пространство двойственное к

\[V^* \]

и получаем

\[V^{**} \]

, то есть получается, что

\[\varepsilon :V \to V^{**} ;\varepsilon (x) = \varepsilon _x ,\varepsilon _x (f) = f(x),x \in V,f \in V^* ,\varepsilon _x \in V^{**} \]

- является как бы сложной функцией?

[Brukvalub]

Тогда уж, вернее, "обратной" функцией? (на самом деле, конечно - нет). Лучше назвать такую операцию "спариванием" функции и точки, причем и функция, и точка в таком спаривании играют равноправную роль.

[Городецкий Павел]

Не совсем понял

\[x\]

- вектор

\[f\]

- линейная функция
а вот

\[\varepsilon _x \]

- ? (т.е.

\[V^{**} \]

- это множество чего ?)

\[\varepsilon \]

- ?

[RIP]

$V^{**}:=\left(V^*\right)^*$, т.е. это множество линейных функционалов на векторном пространстве $V^*$ (ведь это тоже векторное пространство над полем $K$). (На самом деле, к $V^*$ относят только непрерывные линейные функционалы, но в курсе линала обычно по умолчанию считается, что все пространства конечномерны, поэтому любой линейный функционал является непрерывным.) Несложно понять, что при фиксированном $x$ формула $\varepsilon_x(f)=f(x)$ задаёт линейный функционал $\varepsilon_x$ на $V^*$ (нужно проверить линейность по $f$), т. е. $\varepsilon_x\in V^{**}$. Вот и получаем, что каждому $x\in V$ мы сопоставили элемент $V^{**}$, т. е. задано отображение $\varepsilon\colon V\to V^{**}$, $\varepsilon(x):=\varepsilon_x$.

[Городецкий Павел]

Как я понял

\[V^{**} \]

- это множество линейных функционалов, а

\[V^* \]

- это множество линейных функций? и все это векторные пространства? И еще немного глупый вопрос чем отличается линейный функционал от линейной функции?

[RIP]

Городецкий Павел писал(а):

чем отличается линейный функционал от линейной функции?

Только названием, это синонимы.

И $V^{**}$, и $V^*$ есть множества линейных функций, просто эти функции определены на разных векторных пространствах. Функции из $V^{*}$ определены на $V$, в то время как функции из $V^{**}$ определены на $V^*$, т. е., если обозначить $W=V^*$, то $V^{**}=W^*$. Разумеется, это векторные пространства над тем же полем, что и $V$.

[Городецкий Павел]

Вот спасибо
А вот если рассматривать тензор типа (0,1) - это будут как раз линейные функции на

\[V^* \]

, т.е. элементы из

\[V^{**} \]

.
И как уже было сказано между

\[V^* \]

и

\[V^{**} \]

существует изоморфизм, позволяющий отождествить

\[\varphi \in V^{**} \]

с некоторым вектором

\[x_\varphi \in V\]

.
И это отождествление реализуется в записи линейной формы (Кострикин А.И. т2 Линейная алгебра стр 261)

\[f(x) = (f,x)\]

.
А это значит при фиксированном

\[f\]

это есть фиксированная функция на

\[V\]

, а при фиксированном

\[x\]

- линейная функция на

\[V^* \]

. То есть тензоры типа (0,1) можно считать векторами - элементами из

\[V\]

.
Последнюю фразу Алексея Ивановича в свете всего вышесказанного в этом посте я не понял. Поясните пожалуйста.

[RIP]

Последняя фраза просто резюмирует всё вышесказанное:
1) Тензоры типа (0,1) есть элементы $V^{**}$.
2) Элементы $\varphi\in V^{**}$ можно считать (можно отождествить с) векторами $x_{\varphi}\in V$ в силу написанного выше.

[Городецкий Павел]

то есть можно считать в смысле можно отождествить, а то я совсем запутался где векторы, где функции и т.д.

[RIP]

Любой тензор $\varphi$ можно записать написанной выше формулой для некоторого однозначно определённого вектора $x_\varphi$. Грубо говоря, "знать" тензор $\varphi$ --- это всё равно, что знать соответствующий вектор $x_\varphi$, поэтому, говоря ещё грубее, можно считать, что $\varphi$ и $x_\varphi$ --- одно и то же (их можно "отождествить"), хотя на самом деле это разные вещи.

Добавлено спустя 3 минуты 3 секунды:

Городецкий Павел писал(а):

а то я совсем запутался где векторы, где функции и т.д.

В алгебре ещё и не такое бывает. Алгебраисты очень любят "отождествлять", называя это изоморфизмом. Надо просто привыкнуть.

[Городецкий Павел]

RIP писал(а):

В алгебре ещё и не такое бывает. Алгебраисты очень любят "отождествлять", называя это изоморфизмом. Надо просто привыкнуть.

Будем стараться
-----------------------------
Далее вот что вызвало вопрос:
Числа

\[T_{i_1 ,...,i_p }^{j_1 ,...,j_q } : = T(e_{i_1 } ,...,e_{i_p } ,e^{j_1 } ,...,e^{j_q } )\]

называются координатами тензора.
Рассмотрим тензорное произведение базисных векторов

\[e_{i_1 } \otimes ... \otimes e_{i_p } \otimes e^{j_1 } \otimes ... \otimes e^{j_q } \]

\[ e_{i_1 } \otimes ... \otimes e_{i_p } \otimes e^{j_1 } \otimes ... \otimes e^{j_q } (e_{i'_1 } ,...,e_{i'_p } ,e^{j'_1 } ,...,e^{j'_q } ) = \delta _{i_1^! }^{i_1 } ...\delta _{i_p^! }^{i_p } \delta _{j_1^! }^{j_1 } ...\delta _{j_q^! }^{j_q } \]

(у меня штрихи не поставились строчка поплыла, а вот с ! нормально)
Построим тензор

\[ T_1 = \sum\limits_{i,j} {T_{i_1 ,...,i_p }^{j_1 ,...,j_q } e_{i_1 } \otimes ... \otimes e_{i_p } \otimes e^{j_1 } \otimes ... \otimes e^{j_q } } \]

Далее я так понимаю обе части равенства умножили (???) на

\[(e_{i_1 } ,...,e_{i_p } ,e^{j_1 } ,...,e^{j_q } )\]

и получили

\[T_1 (e_{i_1 } ,...,e_{i_p } ,e^{j_1 } ,...,e^{j_q } ) = T_{i_1 ,...,i_p }^{j_1 ,...,j_q } \]

И осталось одно слагаемое, где все

\[\delta =1\]

так да?

Правильно ли я понял?