Исследование на экстремум неявной функции

[korobka]

Здравствуйте!

Пытаюсь исследовать на экстремум неявную функцию $u = u(x;y)$, заданную таким уравнением
$F = (x^2+y^2)^2+u^4-8(x^2+y^2)-10u^2+16=0$

Осведомлён, что здесь topic22858.html обсуждалось порядка пяти лет назад то же самое, но из-за той темы я запутался ещё больше.

Проблем несколько:
1. Вторую производную я ищу, дифференцируя функцию $F$, там выползает слагаемое с $u'x$ (соответственно по $y$), имеем ли мы право подставлять вместо них ноль?
2. Что делать с «подозрительной на экстремум» окружностью $x^2+y^2=4$
3. Что делать с точками несуществования производной?

Пока нашел частные производные $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x \left(x^2+y^2-4\right)}{5 z-z^3}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y \left(x^2+y^2-4\right)}{5 z-z^3}$

[SpBTimes]

Сначала все равно ищутся точки, подозрительные на экстремум. Это точки, где первый производные обращаются в ноль или не существуют. Вы это сделали вроде бы.
Затем достаточные условия, или исследование по определению.

С окружностью. Можете выразить одну переменную через другую и исследовать на экстремум по определению, например.

[korobka]

SpBTimes в сообщении #837607 писал(а):

Вы это сделали вроде бы.

Я пока вижу только нуль-вектор, совсем не имею понятия, как быть с точками несуществования

Цитата:

С окружностью. Можете выразить одну переменную через другую и исследовать на экстремум по определению, например.

Через приращение? Но у нас нет явного задания функции же, соотвественно, на знак приращения не можем посмотреть.

[мат-ламер]

Перейдите к новым переменным для упрощения выкладок. Получится что-то типа окружности.

[SpBTimes]

korobka
Ну так а вы попробуйте разрешить уравнение, относительно $u$. Или сделать удобную замену переменной.
Кстати, по ссылке так и советуют.

[korobka]

С заменой переменной я путаюсь, если честно

А выражать z в общем виде? Просто тогда получается $z^4 - 10z^2 = 8(x^2+y^2) - (x^2+y^2)^2 - 16$, и как дальше выражать, не совсем ясно.

[Shtorm]

korobka, биквадратное уравнение.
Замена $t=z^2$

[provincialka]

А может, препод хочет, чтобы студент показал не знание биквадратных уравнений, а знание методов поиска экстремума?

-- 16.03.2014, 21:26 --

korobka в сообщении #837603 писал(а):

Пока нашел частные производные $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x \left(x^2+y^2-4\right)}{5 z-z^3}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y \left(x^2+y^2-4\right)}{5 z-z^3}$

А почему по $u$ не продифференцировали? Вот и получите точки (линии), где $u$ не имеет производных.

[мат-ламер]

Shtorm в сообщении #837617 писал(а):

korobka, биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение посложнее будет.

[korobka]

Цитата:

А почему по $u$ не продифференцировали? Вот и получите точки (линии), где $u$ не имеет производных.

Прошу прощения. В ОП-посте именно $\frac{\partial u}{\partial x}$

[provincialka]

(Оффтоп)

Что такое ОП-пост?

А я разве говорила о $\frac{\partial u}{\partial x}$? Нет, о $\frac{\partial F}{\partial u} = 4u^3 - 20u$.

[korobka]

Но зачем? Да и, собственно говоря, я это уже проделал — когда искал ЧП. Ведь $\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{F'x}{F'u}$

[provincialka]

Да? Там у вас непонятно, что такое $z$, то ли значение всего выражения, то ли $u$.

[korobka]

Да, вот поэтому и прошу прощения. $z =u$ везде.

[provincialka]

Я особо не вчитывалась, но в чем ваша проблема? Как вам нужно решать?
1. Использовать конкретные особенности примера и обозначить повторяющиеся выражения новыми буквами.
2. Решать "в общем виде", применяя соответствующие теоремы.
Вы плохо описали свою задачу. Для того, чтобы нам в ней разобраться, мы должны сами решить ее "с нуля". А оно нам надо?

korobka в сообщении #837603 писал(а):

1. Вторую производную я ищу, дифференцируя функцию $F$, там выползает слагаемое с $u'x$ (соответственно по $y$), имеем ли мы право подставлять вместо них ноль?

Вы имеете в виду, в точках, подозрительных на экстремум? Там, где производная равна 0, конечно, да.
А где она не существует - сложнее. Там может вообще не существовать сама "неявная" (неявно заданная) функция.