Почему одна функция элементараная, а вторая - нет?

[Anixx]

Почему

$$f(x)=\frac{2 \zeta (2)}{\pi ^2}+\frac{6 \zeta(4) x^2}{\pi^4}+\frac{10 \zeta(6) x^4}{\pi^6}+\frac{14 \zeta(8) x^6}{\pi^8}+\cdots$$

элементарная функция, а

$$g(x)=\frac{4 \zeta (3)x}{\pi ^3}+\frac{8 \zeta(5) x^3}{\pi^5}+\frac{12 \zeta(7) x^5}{\pi^7}+\frac{16 \zeta(9) x^7}{\pi^9}+\cdots$$

имеющая похожий график, но нечетная - нет?

[svv]

А что это за функция, которая элементарная?

[Anixx]

svv в сообщении #837353 писал(а):

А что это за функция, которая элементарная?

$\csc^2 x - \frac1{x^2}$

[Ms-dos4]

Просто по определению, элементарная функция это алгебраическая функция от некоторой переменной, а так же экспонент и логарифмов каких то алгебраических функций этой переменной.

[Anixx]

Ms-dos4 в сообщении #837358 писал(а):

Просто по определению, элементарная функция это алгебраическая функция от некоторой переменной, а так же экспонент и логарифмов каких то алгебраических функций этой переменной.

Спасибо, я знаю определение.

[Shtorm]

Ms-dos4 в сообщении #837358 писал(а):

Просто по определению, элементарная функция это алгебраическая функция от некоторой переменной, а так же экспонент и логарифмов каких то алгебраических функций этой переменной.

В этом определении не хватает тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
Я на лекциях таким определением пользуюсь:
Элементарная функция - это функция, которая может быть составлена из основных элементарных функций и констант, с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

[Ms-dos4]

Shtorm
В смысле не хватает? Тригонометрические выражаются через экспоненты, а обратные тригонометрические через логарифмы.

-- Вс мар 16, 2014 03:49:28 --

Anixx
Так зачем вопросы задаёте?

[Shtorm]

Ms-dos4, Ваша правда. Однако про конечное число операций в определении тоже есть, а вот у ТС не понятно, что там с конечным числом операций. Или то определение, которое я привёл не совсем точное?

[Ms-dos4]

Shtorm
Нормальное определение. А с конечностью операций понятно, а то любые функции, разложимые в ряд стали бы элементарными. Но опять же, вопрос элементарности вообще говоря больше вопрос соглашения.

[Anixx]

Ms-dos4 в сообщении #837364 писал(а):

Так зачем вопросы задаёте?

Еще раз прочитайте вопрос и не будете отвечать не на то, что спрашивали.

[Nemiroff]

Anixx в сообщении #837368 писал(а):

Еще раз прочитайте вопрос и не будете отвечать не на то, что спрашивали.

Звёзды так сложились. Не знаю, как ещё можно на такой вопрос ответить.
А почему синус --- это синус, а косинус, имеющий похожий график --- он не синус?

[Munin]

Nemiroff в сообщении #837369 писал(а):

А почему синус --- это синус, а косинус, имеющий похожий график --- он не синус?

Ещё предлагаю функции Бесселя. Они тоже имеют похожий график и похожее разложение в ряд. Но синус элементарный, а функции Бесселя - нет.

[мат-ламер]

Вопрос из первого поста можно и так сформулировать. Почему дзета-функция Римана для чётного аргумента легко вычисляется, а для нечётного - нет? Ответ я не знаю. Вероятно, так карты разлеглись.

[Anixx]

мат-ламер в сообщении #837414 писал(а):

Вопрос из первого поста можно и так сформулировать. Почему дзета-функция Римана для чётного аргумента легко вычисляется, а для нечётного - нет? Ответ я не знаю. Вероятно, так карты разлеглись.

Если генерирующая функция легко вычисляется или элементарная, то значит, разложение - элементарная функция?

-- 16.03.2014, 14:48 --

мат-ламер в сообщении #837414 писал(а):

Вопрос из первого поста можно и так сформулировать. Почему дзета-функция Римана для чётного аргумента легко вычисляется, а для нечётного - нет? Ответ я не знаю. Вероятно, так карты разлеглись.

Дело в том, что мне кажется, что в числе элементарных функций кое чего не хватает. То есть, есть пропуски. Другими словами, есть класс функций, которые обладают не меньшим набором свойств, чем элементарные, так же как и элементарные, замкнуты относительно элементарных операций и дифференцирования, и связаны с элементарными соотношениями симметрии. Я бы назвал их парэлементарными.

[Ms-dos4]

Anixx в сообщении #837429 писал(а):

Если генерирующая функция легко вычисляется или элементарная, то значит, разложение - элементарная функция?

Что вы имели ввиду? Если что то легко вычисляется, то это не значит, что это элементарная функция.

Anixx в сообщении #837429 писал(а):

Дело в том, что мне кажется, что в числе элементарных функций кое чего не хватает. То есть, есть пропуски. Другими словами, есть класс функций, которые обладают не меньшим набором свойств, чем элементарные, так же как и элементарные, замкнуты относительно элементарных операций и дифференцирования, и связаны с элементарными соотношениями симметрии. Я бы назвал их парэлементарными.

Большинство специальных функций ничуть не хуже элементарных. Но и "переносить" их какой смысл? Что бы называть элементарными? И какой смысл?
Уж как устоялось, пусть так и будет. Зато все чётко понимают, о чём идёт речь, когда говорят об элементарных функциях.