Сумма попарно независимых случайных величин

[Guliashik]

Дано множесто $A = \{ X_1, X_2, ... , X_n\} $ попарно независимых случайных величин. Возьмём любое подмножество $S$ множества $A$ такое, что его мощность $1 \le m < n$. Обозначим через $X$ сумму элементов $S$, а через $Y$ любой элемент $A$ такой, что $Y \notin S$. Верно ли то, что $Pr(X = x, Y = y) = Pr(X = x) Pr(Y =y)$.
Иными словами, верно ли то, что эти случайные величины независимы? Если да, то как это доказать? Интуитивно я этого не понимаю.
Спасибо.

[svv]

Нет, неверно. Возьмем три случайные величины $X_1, X_2, X_3$, каждая из которых может принимать значение $0$ и $1$. Пусть вся тройка с равной вероятностью принимает значения:
$(1,0,0)$
$(0,1,0)$
$(0,0,1)$
$(1,1,1)$
(а других не принимает).
Это пример Бернштейна: величины попарно независимы, но не независимы в совокупности.

Пусть $X=X_1+X_2, Y=X_3$.
Найдите $\textsf P(X=0), \textsf P(Y=0), \textsf P(X=0, Y=0)$.

[Guliashik]

Тогда мне не совсем понятно следующее:
Дисперсия суммы попарно независимых случайных величин есть сумма дисперсий. Доказательство этого факта проводят по индукции. Например, в одном из учебников написано так: $D(X + Y + Z) = D(X) + D(Y + Z) = D(X) + D(Y) + D(Z)$. Каким образом такое возможно, если неизвестно, что величины $X$ и $(Y + Z)$ независимы?
Спасибо, за ответ.

[ShMaxG]

Guliashik в сообщении #837111 писал(а):

Каким образом такое возможно, если неизвестно, что величины $X$ и $(Y + Z)$ независимы?

При вычислении дисперсии суммы возникнут корреляционные моменты. Но они равны нулю, и некоррелированности достаточно, а попарной независимости уж тем более.

[Guliashik]

Не понимаю, всё равно.
$D(X+Y) = M(X-M(X))^2 + M(Y-M(Y))^2 + 2M((X-MX)(Y-MY))$, где $X$ - это сумма попарно независимых случайных величин (больше 2-х штук), а $Y$ это величина, определённая в топике. Что позволяет расписать последнее слагаемое как произведение мат.ожиданий?

[svv]

$$\mathsf M((X_1-\mathsf MX_1)(X_2-\mathsf MX_2))=\mathsf M(X_1X_2-X_1\mathsf MX_2-X_2\mathsf M X_1+\mathsf MX_1\mathsf MX_2)=\mathsf M(X_1X_2)-\mathsf MX_1\mathsf MX_2$$

Это просто из линейности мат.ожидания.
А дальше

$$\mathsf M(X_1X_2)=\mathsf MX_1 \mathsf MX_2$$

из независимости с.в. $X_1$ и $X_2$.

[Guliashik]

svv, так ведь попарная независимость не даёт независимость в совокупности?

[svv]

И аналогично для любой другой пары.
Теперь

$$\mathsf D(X_1+X_2+X_3)=\mathsf M(X_1-\mathsf MX_1+X_2-\mathsf MX_2+X_3-\mathsf MX_3)^2=$$

$$=\mathsf M(X_1-\mathsf MX_1)^2+\mathsf M(X_2-\mathsf MX_2)^2+\mathsf M(X_3-\mathsf MX_3)^2+$$

$$ +2\mathsf M((X_1-\mathsf MX_1)(X_2-\mathsf MX_2))+2\mathsf M((X_2-\mathsf MX_2)(X_3-\mathsf MX_3))+2\mathsf M((X_3-\mathsf MX_3)(X_1-\mathsf MX_1))=$$

$$=\mathsf D X_1+\mathsf D X_2+\mathsf D X_3+0+0+0$$

Вот. Обобщается на любое количество с.в. без индукции.

[Guliashik]

svv, премного благодарен!!!

-- 15.03.2014, 21:43 --

Одно мне только непонятно, что не так с моим пониманием независимости случайных величин, что я могу понять только полное расписывание, а по-другому нет (ваше 2-е сообщение)?

[svv]

Я не очень понял Ваш вопрос, но такое доказательство
$D(X + Y + Z) = D(X) + D(Y + Z) = D(X) + D(Y) + D(Z)$
мне тоже непонятно.

Ясно, что всё хорошо благодаря тому, что дисперсия суммы выражается через дисперсии каждой с.в. и ковариации всевозможных пар различных с.в. (а любые две различных с.в. — независимы по условию).

-- Сб мар 15, 2014 19:49:11 --

Можно всё записать красиво и компактно, если использовать знаки $\sum$.

[Guliashik]

svv, такое я увидел в Гмурмане "Теория вероятностей и математическая статистика".

[svv]

Я, к сожалению, в теории вероятностей не специалист.

[--mS--]

Guliashik в сообщении #837278 писал(а):

svv, такое я увидел в Гмурмане "Теория вероятностей и математическая статистика".

А не читайте Гмурмана :) Но, справедливости ради, там это обоснование приводится для величин, которые В.Е. называет "взаимно независимыми". А это вовсе не попарная независимость, если покопаться в определении там же, а независимость в совокупности.

[Guliashik]

--mS--, на самом деле. Моя вина.
Пардон за оффтоп. А что тогда порекомендуете? Я параллельно полистываю Севастьянова. Но уровень изложения для меня довольно таки сложный.

[--mS--]

Есть много между. Е.С.Вентцель (или она же + Л.А.Овчаров), В.А.Колемаев+В.Н.Калинина, П.П.Бочаров+А.В.Печинкин, А.Н.Бородин, В.П.Чистяков - из старых, в сети есть в любом количестве.