Худший становится лучшим. Вероятность

[Александрович]

Задачу упростил до предела и придал ей бытовую форму. Пусть у нас есть две лампочки с различными, но известными функциями распределения времени наработки до отказа. Обе функции нормально распределены $N_1[10;1]$ и $N_2[8;2]$. Очевидно что в среднем первая лампочка будет светить дольше чем вторая. Но иногда лидером окажется и худшая. Как найти вероятность, с которой худшая лампочка "пересветит" лучшую? Подскажите как считать.

[ИСН]

Представьте себе двумерный интеграл от произведения обеих плотностей вероятности - одна от x на другую от y. Если по всей плоскости, то это единица. А Вам надо не по всей, а по определённой области (какой?)...

[whitefox]

Первый параметр — математическое ожидание?
А второй — дисперсия? Или стандартное отклонение?

Обычная нотация для нормального распределения — $N(\mu,\sigma^2)$. Но и вариант $N(\mu,\sigma)$ не исключён. Уточните, пожалуйста.

[Александрович]

ИСН в сообщении #833721 писал(а):

Представьте себе двумерный интеграл от произведения обеих плотностей

Вы мне льстите. Мне бы поближе к практике.

whitefox в сообщении #833725 писал(а):

Но и вариант $N(\mu,\sigma)$ не исключён. Уточните, пожалуйста.

Он и есть.

[ewert]

Александрович в сообщении #833710 писал(а):

функциями распределения времени наработки до отказа. Обе функции нормально распределены

Что такое "отрицательное время наработки"?...

[Александрович]

ewert в сообщении #833728 писал(а):

Александрович в сообщении #833710 писал(а):

функциями распределения времени наработки до отказа. Обе функции нормально распределены

Что такое "отрицательное время наработки"?...

А где вы его увидели?

[ИСН]

Нормальное распределение - это распределение по всем числам, включая отрицательные.

[Александрович]

ИСН в сообщении #833731 писал(а):

Нормальное распределение - это распределение по всем числам, включая отрицательные.

Уели. Нормальное распределение - это распределение по всем числам, включая бесконечно большие. Посчитайте вероятность, при котором время наработки примет отрицательное значение.

[ewert]

Ну уели не уели, а задачу надо формулировать аккуратно -- или вообще не формулировать.

[Александрович]

ewert в сообщении #833728 писал(а):

Что такое "отрицательное время наработки"?...

Отрицательное время наработки это время, при котором лампочка отказалась светиться ещё до её включения.

[vlad_light]

Цитата:

Вы мне льстите. Мне бы поближе к практике.

Монте-Карло, не? (Получилось около $.1856$)

[Александрович]

vlad_light в сообщении #833744 писал(а):

Монте-Карло, не? (Получилось около $0.1856$)

Не, в частном случае я знаю как найти. Хотелось бы к общей формуле прийти.

[Johnston]

Хорошие лампы: $z(x)=A_1\exp\left(-\frac{(x-x_1)^2}{2\sigma_1^2}\right)$, $x_1=10$, $\sigma_1=1$ и плохие лампы: $y(x)=A_2\exp\left(-\frac{(x-x_2)^2}{2\sigma_2^2}\right)$, $x_2=8$, $\sigma_2=2$.

В инженерном приближении обрубим отрицательные хвосты функции распределения плотности вероятности. Теперь $A_1$ и $A_2$ находятся из условий нормировки $\intop_{0}^{\infty}z(x)dx=1$ и $\intop_{0}^{\infty}y(x)dx=1$.

Для каждого времени наработки хорошей лампы $x$ число таких ламп $z(x)$, а число плохих ламп, проработавших дольше $x$ равно $\int_{x}^{\infty}y(x)dx$. Следовательно, искомая вероятность

$$P=\intop_{0}^{\infty}z(x)\int_{x}^{\infty}y(x')dx'dx$$

[Александрович]

Спасибо, но ведь до конкретного распределения еще очень далеко.

[--mS--]

1) Разность двух независимых нормальных величин снова нормальна. С соответствующими матожиданием и дисперсией.
2) События $\{X < Y\}$ и $\{X-Y < 0\}$ совпадают.